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整数（英文：integer）[1]是数系中基本的一种数，是正整数、零、负整数的统称。所有整数的集合称为整数集，用符号Z表示。[3][5][6]
数字起源于远古时期，当时并没有计数工具，为了计算劳动收获和分配所得，人们往往会借助手指、足趾或身体的其他部位来计算数字，再进行比较，这时整数概念的雏形就已经诞生。[14]公元前3世纪的古希腊时代，欧几里得（Euclid）所著《几何原本》一书中介绍了整数的概念，并记载了对整数的因数分解、求两个正整数最大公因数的辗转相除法等内容。随着数系的概念不断推广，与正数相反的负数概念出现，在公元1世纪左右成书的中国《九章算术》中就记载有正负数的加减法则。但一开始负数并未被重视，直到17世纪左右负数的概念才得以完善。[15]在数论发展史上，法国数学家费马（Fermat,P.de）、德国数学家高斯（Gauss,C.F.）[4]以及瑞士数学家欧拉（Euler,L.）[16][17]等人都做出了重要贡献。1860年，魏尔斯特拉斯（Weierstrass,K.(T.W.)）首先提出用一对有序自然数表示负整数。后来，皮亚诺（Peano,G.）在前人的基础上建立了自然数系的公理，并进一步构造了整数系，完善了数系理论的建立工作。[2][3]
整数和分数统称为有理数，其加法、减法和乘法的运算法则与运算定律适用于整数运算。[5][18]在算术里，零和自然数称为算术整数。整数还有一个等价定义，即有序自然数的等价类。[19]数论中著名的费马大小定理、欧拉定理等与整数密切相关。[11][12]此外，整数可推广至环论等其他数学分支，在整数环中，唯一因式分解定理帮助研究整数的整除性。[13][20]整数在现实世界中具有广泛的应用价值，如在电力系统调度中，通过整数编码方式，可优化机组组合问题，相比于二进制编码，能有效减少待优化变量个数。[8]
定义
正整数、零和负整数统称为整数，所有整数的集合称为整数集，用符号表示。[5][6]
例如：
正整数，如；
负整数，如。[5]
整数与数论
远古时期，由于没有计数工具，人们为了计算劳动收获和分配所得，往往会借助手指、足趾或身体的其他部位来计算数字，用于与被计量的物体进行一一比较，产生了最初的整数概念。[14]公元前3世纪的古希腊时代，欧几里得（Euclid）所著《几何原本》一书中介绍了整数的概念，并记载了对整数的因数分解、求两个正整数最大公因数的辗转相除法等内容。随着数系的概念不断推广，与正数相反的负数概念出现，在公元1世纪左右成书的中国《九章算术》中就记载有正负数的加减法则。但一开始负数并未被重视，古希腊著名数学家丢番图（Diophantus，约公元200~284年）在著作《算术》( Arithmetica）中将方程的负数根描述为错误的，直到17世纪左右负数的概念才得以完善。[15]随后，法国数学家费马（Fermat,P.de）在1637年左右提出的费马大定理[12]和德国数学家高斯（Gauss,C.F.）在1801年发表的著作《算术研究》[4]以及瑞士数学家欧拉（Euler,L.）[16]对费马定理的证明及推广等为数论的发展做出了重要贡献。[17]1860年，魏尔斯特拉斯（Weierstrass,K.(T.W.)）首先提出用一对有序自然数表示负整数。后来，皮亚诺（Peano,G.）在前人的基础上建立自然数系的公理，并进一步构造整数系，完善了数系理论的建立工作。[2][3]
符号起源
整数符号的引入起源于19世纪，德国数学家理查德·戴德金（Dedekind,Richard）在1872年出版的著作《连续性与无理数》(Stetigkeit und Irrationale Zahlen）中分别使用表示有理数、实数、复数，引入表示整数，并在之后《数是什么？数应当是什么？》(Wassind und was sollen die Zahlen?）一书中以表示自然数。[21]随后，意大利数学家皮亚诺（Peano）在1889年出版的《算数原理新方法》(Arithmetices principia,nova methodo exposita）中引用了戴德金的结论，完成了对整数的公理化处理并使用同样的符号，后来他在1895年出版的《数学公式汇编》(Formulario mathematico）中使用来表示正整数以及表示整数。[22]进入20世纪，赫尔穆特·哈斯（Helmut Hasse）、奥托·豪普特（Otto Haupt）、范·德·瓦尔登（Van der Waerden）和埃德蒙·兰道（Edmund Landau）等数学家也在书中使用了不同的符号表示整数。而正式提出将作为整数表示符号的是法国数学团体布尔巴基（N.Bourbaki），随后该符号逐渐被认可和广泛使用。[23]
自然数
定义：一般地，表示物体个数的数叫自然数，如条鱼，个水果，只野兔等。[18]
如都是自然数，自然数的单位是。[18]
自然数都是整数，但整数不一定都是自然数。[3]
分数
定义：把单位“”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，就叫分数。如把单位“”分成份取其中的份，就是。[24]
分数是由两个整数（其中有一个不能为零）和一条横线组成。[24]
有理数
正、负整数和统称为整数；正分数和负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。[25]
有序自然数的等价类
一个整数是一个有序自然数的等价类，其中当且仅当。[19]
可使用如下记号作为这些整数的名称：
；
；
。
这些等价类也可以用下图表示出来，标出有序对，向右度量，而向上度量，于是就得到整数集与它自身的笛卡儿积的一个用图作出的解释。[19]
如上图所示，与一个确定的等价类的有序对相应的点，位于一条与水平方向成角的直线上。这些直线与水平的实数直线相交于由相应的等价类所表示的整数点上。[19]
运算定义
加法：两个整数和的和定义为；
乘法：两个整数和的积定义为。[19]
加法和乘法
由于整数和分数统称为有理数，因此有理数的加法、减法和乘法的运算法则与运算定律适用于整数运算。[5]
加法：
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；[注1]
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得；[注2]
3.一个数同相加，仍得这个数。[5]
例如：。
减法：整数的减法可以转化为加法来进行，即整数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。[5]
例如：。
乘法：
1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
2.任何数与相乘，都得。[5]
例如：。
运算定律：整数的运算法则对加法满足结合律、交换律和单调律；对乘法满足结合律、交换律和分配律。[26][27]
加法
交换律：数加数与数加数，其和的不变性叫做加法的交换律，即；
结合律：求几个数的和时，可以把任意加数分成组，各组进行加法，然后再把所得的结果相加，所得的和不变，即；
单调律：
(1)若，那么；
(2)若，那么；
(3)若，那么。[26]
乘法
交换律：一般地，整数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即乘法交换律：；
结合律：一般地，整数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即乘法结合律：；
整除
定义
设是整数，。若存在整数，使得，则能整除或能被整除，记作。如果不存在整数，就说不能整除，或不能被整除，记作。若, 就叫做的倍数，或叫做的因数（约数）。[10]
性质
整除具有以下一些性质：[10]
1.如果，则。换言之，是的因数，是的因数，则是的因数；(传递性)
2.若，那么；
3.若，那么对任何整数来说；
4.若，则。反之，若，则；
5.若，则。[10]
序论性质
全序集的定义：设是一个偏序集，若是一个链，则称是一个全序集或线序集，“”是上的全序关系或线序关系。在全序集的哈斯图中，从最小元素沿“”方向可以遍历它的所有元素。[28]
整数集在序论中满足如下性质：
1.整数集合上的关系“”是全序关系，所以是全序集；
2.整数集合上的小于等于关系是全序关系；
3.正整数集合上的整除关系不是全序关系，但集合上的整除关系是全序关系。[28]
带余除法定理
对于任意的整数，必存在唯一的一对整数，使成立。[10]
该定理是整数理论的基础，可得出整数的一些基本性质。[10]
欧拉-费马定理
费马大定理
定义
在整数集中定义加法“”与乘法“”：和，可知加法与乘法是的代数运算，它与等价类中代表元的选择无关。由下述定理：[20]
1.整数的加法与乘法均满足结合律和交换律，且乘法对加法满足分配律；
3.对于的加法，存在单位元素，对于，存在唯一的逆元素；
4.对于方程有唯一解；
唯一因子分解定理
任一大于的整数能唯一地分解成有限个质数的乘积。所谓唯一性是说，如果有两个这样的分解式
，则一定有，并且适当排列因子的次序后有。[13]
该定理在整数的整除性理论中起着基本重要的作用，因此也被称为算数基本定理。[13]
定义
带余除法定理
整数中的带余除法定理可以推广至高斯整环上，但具有不完全一致的形式。
带余除法定理：对任意，存在，使，即。[29]
密码学
在密码学中，整数可以帮助建设安全可靠的信息安全系统，为海上作战提供保障。全同态加密主要应用于对密文数据进行加密处理，被广泛应用于安全多方运算、数据加密存储、数据索引、数据查询等方面。基于整数多项的全同态加密算法，在密钥生成过程和加密过程中，耗时更少，并且能够进行批处理加密，可有效提高加解密的效率。[7]
工程学
在工程学中，整数可以应用于电力系统经济调度，其中机组组合优化是一个重要的问题，它由于高维数、非凸、离散、非线性的特征，在理论上很难求出最优解。粒子群优化算法是一种随机全局优化算法，在求解机组组合问题时，普遍采用二进制编码方式，用表示发电机组的开停机状态。但对于大规模机组系统， 会导致种群个体长度过长，影响算法搜索效率，浪费求解时间。[8]
为了优化机组组合问题，通过整数编码方式，用正负整数分别表示机组开停机时间长度，相比于二进制编码，它能有效减少待优化变量个数。基于机组组合问题的特点，采用修补策略处理不满足约束条件的个体，使算法只在可行解区域内搜索，可有效提高收敛速度和求解精度。[8]
管理学
通常，对于人力资源供大于求，企业会有多种的应对措施和方案，在作决策时，一般通过传统的定性分析来选择方案，并且方案比较单一。但传统的定性方法存在多个缺点，如不科学、不精确和成本高等。人力资源供大于求状态的决策属于多目标和多方案决策问题，即必须满足高效率与低成本，有利于员工稳定和社会稳定等多个目标。[9]
基于最低成本，构建一个整数线性规划决策模型，能为企业在人力资源供大于求状态下提供一种有效便捷定量的决策手段。在实际应用过程中，企业可选择其中几个措施方案并进行优化决策。[9]
相关文化
《隐匿的数字》是由科幻作家伊格尔·特珀（Igor Teper）创作的小说，并被改编为同名电影，于2012年上映。[31][32]
主要讲述：精神科医生西蒙·汤姆林（Simon Tomlin）与一位名叫艾尔塞姆（Ersheim）的患者之间故事。艾尔塞姆是一名杰出的数学家，想要证明到之间存在一个秘密整数。[32]
参考资料 32
- 参考 1
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- 参考 14
- The Integers — LibreTexts libraries of MATHEMATICS
- 参考 16
- 参考 17
- 参考 18
- 参考 19
- 参考 20
- 参考 21
- 参考 22
- Earliest Uses of Symbols of Number Theory — jeff560.tripod
- 参考 24
- 参考 25
- 参考 26
- 参考 27
- 参考 28
- 参考 29
- 参考 30
- The Secret Number — 时光网
- About The Secret Number — secretnumber.colinlevy
注释
- 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
- 像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。