氢原子百科 
奇函数（odd function[1]）是图像关于原点对称的函数。定义在对称区间I=(-a,a)或[-a,a]（或数轴上关于原点对称的点集）上的（一元）实值函数y=f(x)，对任意x∈I，都有f(-x)=-f(x)，称f(x)为奇函数。[1]
1727年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇拉丁文论文中，首次提出了奇、偶函数的概念，其中奇函数的拉丁文为“functiones impares”。他提出的奇函数、偶函数的概念源于幂函数的指数或指数分子的奇偶性。1748年，欧拉在他的数学书籍《无穷分析引论》讨论了更多类型的奇、偶函数。[2]1786年，法国人裴奇（F.Pezzi）通过翻译欧拉著作的方式给出了奇函数的法文名称。1792年，法国数学家勒让德（A.Legendre）向科学院提交论文《关于椭圆的超越性》，进一步讨论了常见函数的奇偶性质。1809年，苏格兰数学家华里司（W.Wallace）将勒让德（A.Lengendre）的论文译成英文。20世纪初，奇函数和偶函数两个概念传入中国。[2]
奇函数有很多性质，如两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数；一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数；两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。[7]奇函数可应用在电路设计[3]、计算机科学[4]、工程学[5]等领域，如在电路设计领域，奇函数可用于一类新的四维混沌系统，通过调整该系统的参数，使其在某些平面上形成四翼。[3]
函数
函数是变量之间确定的依存关系。若是一个实数集的集合（即），是某个确定的法则，每个按照对应唯一的（为实数），则称为上的函数。变量与分别称为函数的自变量和因变量。通过法则对应的值记为，也称为函数值，于是可写。实数的集合和分别称为函数的定义域和值域。这样定义的函数称为一元函数。类似地，可以定义多元函数的概念。[1]
奇函数
定义在对称区间或（或数轴上关于原点对称的点集）上的（一元）实值函数，对任意，若，即对称点的函数值正负相反，则称为奇函数。[1]
来源
1727年，年轻的瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文中，首次提出了奇、偶函数的概念，其中偶函数的拉丁文为“functiones pares”，奇函数的拉丁文为“functiones impares”。欧拉指出，若用-x代替x，函数变号，则称这样的函数为奇函数，并列举了三类偶函数和三类奇函数，讨论了相关性质。因此，最早的奇、偶函数概念都是针对幂函数以及相关复合函数而言，且此次讨论中没有涉及任何超越函数。此时欧拉提出的“奇函数”“偶函数”之名显然源于幂函数的指数或指数分子的奇偶性：指数为偶数的幂函数为偶函数，指数为奇数的幂函数为奇函数。[2]1748年，欧拉出版他的数学名著《无穷分析引论》，将函数确立为分析学的最基本的研究对象，其给出的奇、偶函数定义与1727年论文中的定义实质上并无二致，并讨论了更多类型的奇、偶函数，也给出了奇函数的更多的性质。[2]
传播
1786年，法国人裴奇（F.Pezzi）将《无穷分析引论》第1卷译成了法文，“奇函数”和“偶函数”分别被译为“fonction impaire”和“fonction paire”，这是两个数学名词在法文中的首次出现。1792年，法国数学家勒让德（A.Legendre）向科学院提交论文《关于椭圆超越性》，将只含的偶次幂的多项式称为的偶函数，将只含的偶次幂的函数称为的偶函数。[2]
1809年，苏格兰数学家华里司（W.Wallace）将勒让德的论文译成英文，发表在《数学文库》（Mathematics Repository）上。华里司将“function paire”译为“even function”，这是“even function”这个词在英语世界中的首次出现。20世纪初，奇函数和偶函数两个概念传入中国。1938年出版的《算学名词汇编》和1945年出版的《数学名词》中都收录了这两个名词。[2]
偶函数
定义在对称区间或（或数轴上关于原点对称的点集）上的（一元）实值函数，对任意，若，即对称点的函数值相等，则称为偶函数。[1]
其他函数
非奇非偶函数：若既不满足，也不满足，称为非奇非偶函数。[8][9]
既奇又偶函数：同时为奇函数和偶函数的函数，即。[9]
性质
1.在平面直角坐标系中，奇函数的图像关于原点对称。[1]
2.奇函数和奇函数相加或相减仍为奇函数。[7]
3.奇函数的线性组合仍为奇函数。[6]
4.两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。[6]
5.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。[6]
6.两个奇函数的复合是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的复合是偶函数。[10]
7.奇函数在其对称区间的两边单调性相同，凹凸性相反，拐点关于原点对称。[10]
8.若，的定义域关于原点对称，则可唯一地分解为一个奇函数与偶函数的和，其中奇函数为，偶函数为。[6]
类型
常见的奇函数类型有（1）;（2）;（3）;（4）;（5）奇奇;（6），，;（7）;（8）;（9）;（10）奇函数的反函数。[11]
关于导数
关于积分
关于级数
定理3 设为奇函数，则的傅里叶级数仅含正弦项（奇函数项），即，其中[14]
方法
例题
例1 证明函数是奇函数。
证明：由题知函数的定义域是，关于原点对称，且
所以函数是奇函数。[16]
电路设计
在电路设计领域，奇函数可用于一类新的四维混沌系统，通过调整该系统的参数，使其在某些平面上形成四翼。对该类系统进行了数值模拟和参数敏感性研究，据此可设计一个混动系统的振荡电路，通过MULTISIM得到的相图与数值模拟结果具有良好的一致性。[3]
计算机科学
奇logistic函数是一类特殊的奇函数，在计算机辅助设计领域，利用它的动力系统所持有的混沌性质可在计算机上生成地毯图案。由于奇logistic函数本身具有混沌的性质，它表现为一种非周期的、甚至看起来很混乱的输出，利用这个性质，可以由确定性的简单函数来产生地毯的图案。[4]
工程学
参考资料 16
- 参考 1
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- 参考 14
- 参考 15
- 参考 16