动能

动能（Kinetic energy），动能是由物体自身的质量和速率所决定的做功能力。动能是物体由于运动而具有的能量。动能可以属某个物体所有，也可以属某个系统所有。^[1][3]

1604年，意大利物理学家伽利略提出了落体定律，正确指出落体运动的规律并将抛体运动分解为水平匀速运动和落体运动。^[11][12]17世纪中期，笛卡儿和牛顿提出了“动量”的概念，动量作为物体运动状态的唯一量度被广泛接受。但德国数学家莱布尼兹认为力的量度必须以其所产生的效果为准，将物体的重量与上升的高度的乘积作为运动的力的量度，从而提出了“活力”的新物理量及“活力”守恒原理。1829年，法国科学家科里奥利通过积分运算修正了“活力”的表达式，将其形式修正为，但仍使用了活力这个词。19世纪中叶之后，恩格斯指出，在不发生机械运动“消失”而转化为其他形式运动的情况下，运动的传递和变化可以用动量来度量。但在发生了机械运动“消失”而产生其他形式能量的情况下，包括机械能和其他形式能量相互转化的过程中，应该使用来度量。在这种情况下，“表示已经消失的机械运动的量度”。因此，恩格斯得出结论：“是以机械运动来量度的机械运动；是以机械运动转化为一定量的其它形式的运动的能力来量度的机械运动。”^[8]

在实际中，各种形式的能量能够互相转化。如，海洋潮汐中具有的动能、势能可互相转化利用，使潮汐能成为一种可再生能源，从而促进生产生活的发展。^[13][14]在军事领域方面，动能武器的发展是一次重大军事技术革命，提高了精确打击能力和战争胜负的解决速度。电力工业中，主流风力发电机双馈风机的频率控制策略就包括转子动能控制。^[4][5]其它常见应用领域还有交通运输以及医学治疗等。如，城市轨道交通在设计时，将车站设在纵断面的凸形坡段上，可以利用动能和势能转化减少能量消耗，以此节能。治疗呼吸系统疾病的医学器材雾化吸入器也可以利用动能将药物变成细小的颗粒状或雾状，通过呼吸运动吸入患者肺内，经气道黏膜吸收而达到治疗目的。^[6][7]

考察一质量为、速度大小为的物体，它受到一个与其运动方向相反且恒定不变的阻力的作用，物体将克服阻力做匀减速直线运动，其加速度为，物体从以速率运动到停下来，质点克服阻力所运动的路程为.^[3]

而末速度为零，有.

所以，用的时间就为.

这样，质点克服阻力所做的功就为.

这说明，质量为、速度大小为的质点具有做功的能力，也就是说具有的能量，这样的能量就称为一个重要的物理量“动能”，并记为.

动能是由物体自身的质量和速率所决定的做功能力。动能是物体由于运动而具有的能量。动能可以属某个物体所有，也可以属某个系统所有。^[3]

物体处在一定的状态，就具有一定的动能，动能只与物体的状态有关。而功是力的空间积累效应，是物体动能变化的量度。对于恒力，它的功为。^[15]

功是标量，没有方向，但有正负，是代数量：为正功，为负功。功的正负由力与位移的夹角决定。当时，，力对物体不做功。“力对物体做负功”也可以说成“物体克力做负功”。^[15]

当物体在外力作用下发生位置改变时，外力对物体做了功。外力对物体做功的多少与物体运动状态的改变程度必然存在量的关系。^[16]

如图1所示，一质量为的质点在变力作用下沿任意曲线运动，由点至点。在、两点处的速度分别为和。取曲线中任意点，质点在点处受力作用，在时间内发生位移。变力所做元功为.^[16]

在质点由点至点的过程中，变力做功为.^[16]

由于，所以.^[16]

因此，有.^[16]

根据动能的定义，有.^[16]

这就是动能定理（theorem of kinetic energy），表述为：作用于质点的合外力所做的功，等于质点动能的增量。动能的单位与功相同，也是焦耳（），简称焦。^[16][2][17]

动能定理是在一般情形下得到的，是一个普遍结论，适用范围很广。动能定理有助增强对正功和负功的理解。，表示合外力对质点做正功，质点动能增加；，表示合外力对质点做负功，质点动能减少；也可理解为质点减少自身动能，以反抗合外力对外做功。由此可知：功是质点能量改变的量度。^[16]

单个质点的动能是：.^[18][19]

作用力在质点元位移上的元功为；对质点的动能定理为：.

对质点系，列写每个质点的动能定理再相加即得：

式中为质点系的动能；为质点系所有外力元功之和；为质点系所有内力元功之和。式（1）即为质点系的动能定理，文字表述为：质点系动能的微分等于全部外力元功与内力元功之和。式（1）是微分形式，在质点系两个位形之间积分，还可得动能定理的积分形式：

式中、分别为由位形1到位形2的过程中外力和内力的总功。^[18][19]

设质点系中任一质点的质量为，受外力的合力和内力的合力作用，加速度为，沿曲线轨迹运动到点时的速度为（见图2）。根据牛顿第二定律，有：，^[20][19][21]

将式（3）向轨迹的切线方向投影，得，或，

因，

代入式（4）可得：，

可改写为：，

式中为质点的动能；和分别为质点上外力和内力的元功。对于整个质点系则应为

，

式中为质点系的总动能。

对式（6）进行积分，可得或。

式中为质点系在过程开始时的动能；

为质点系在过程结束时的动能；

为外力在此过程中所做功的总和；

为内力在此过程中所做功的总和。

式（7）是以积分形式表示的质点系的动能定理，它表明：质点系的总动能在某个力学过程中的改变量，等于质点系所受的诸外力和诸内力在此过程中所做功的总和。^[20][19]

常见的理想约束有：绝对光滑接触、绝对粗糙接触、不可伸长的轻质绳、不可伸长的轻质杆和刚体的约束等。^[18]

质点系所受的约束为理想约束时，质点系动能定理成为：

式中为主动力在各质点元位移上元功之和；为由位形1到位形2过程中主动力的总功。当摩擦力做功时，约束不是理想约束，但仍可应用式（8）、（9），只需将摩擦力看成主动力并计入摩擦力所做的功。^[18]

1604年，意大利物理学家伽利略（Galileo Galilei）提出了落体定律，第一次引入加速度概念，得出匀变速运动的公式，正确指出落体运动的规律并将抛体运动分解为水平匀速运动和落体运动。^[11][12]17世纪中期，在笛卡儿和牛顿提出了“动量”的概念后，人们开始习惯于把动量作为物体运动状态的唯一量度。德国数学家、哲学家莱布尼兹于1686年发表了论文《关于笛卡尔和其他人在确定物体的运动力中的错误的简要论证》，提出了“活力”概念及“活力”守恒原理。在该论文中，他认为不应作为运动的原动力的量度，而应该用来衡量。他认为力的量度必须以其所产生的效果为准。例如，通过将一个重物举起的高度来衡量，而不是通过传递给另一个物体的速度来衡量。他将物体的重量与上升的高度的乘积作为运动的力的量度，即功。他指出，将1磅（1磅=0.45千克）重的物体升高到4英尺（1.143米）所需的力等于将4磅重的物体提升到1英尺高所需的力。基于伽利略的落体定律，他计算出物体自由下落的高度和它下落此高度所获得的速度的平方成正比，即。物体下落所得的速度正好等于把它送回原来高度的那个速度，因此物体能够上升的高度就和这个速度的平方成正比。同时莱布尼茨从牛顿第二定律的力的表达式（）出发，对力在位移上进行积分运算，得到了他所称之为“活力”的新物理量。^[8][22][23]

莱布尼兹和笛卡尔一样认为，宇宙中运动的总量必须保持不变。莱布尼兹的活力守恒概念在当时的力学现象中得到了验证。于1703年发表的惠更斯遗稿《论碰撞作用下物体的运动》一文中，对完全弹性碰撞做了详尽的研究，并指出在两个物体的碰撞中，它们的质量和速度平方乘积的总和，在碰撞前后保持不变，这就是完全弹性碰撞中“活力”守恒原理的具体表述。对于非弹性碰撞，动量是守恒的，但是活力是减少的。莱布尼兹仍然认为活力是守恒的。为说明在非弹性碰撞中活力并没有减少，他提出了一个的解释，即认为碰撞物体在整体上所减少的活力并未消失，而只是被物体内部的微小粒子吸收了，微粒的活力增加了。虽然当时还没有现代的分子原子概念，莱布尼兹的这种解释纯属设想，但却符合了近代气体动理论的观点：碰撞物体整体的动能变成了热能，即内部分子运动的动能。^[8]

1801年，英国物理学家托马斯·扬（Thomas Young）在英国皇家学院的一次演讲中提出了用“能”这个词来代替活力。然而，当时科学界并没有接受这个术语。1829年，法国科学家科里奥利通过积分运算修正了“活力”的表达式，将其形式修正为，但仍使用了活力这个词。科里奥利是对动能和功给出确切的现代定义的第一人。他把物体的动能定义为物体质量的二分之一乘其速度的平方，而对某物体所做的功等于作用力乘其克服阻力而运动的距离，即动能定理。^[24]之后为了避免混淆是否有的问题，科学家柏兰吉尔建议将称为活力，而将称为“活动力”。这种不准确且具有双重意义的词“力”一直延续到19世纪中叶。^[8][23]

19世纪中叶之后，自然科学家们仍未能完全解决关于运动的两种量度的争议。恩格斯基于当时自然科学的最新成果，特别是能量守恒定律的发现，揭示了这两种量度的本质区别。他指出，在不发生机械运动“消失”而转化为其他形式运动的情况下，运动的传递和变化可以用动量来度量，即表示持续机械运动的量度。但是，在发生了机械运动“消失”而产生其他形式能量的情况下，包括机械能和其他形式能量相互转化的过程中，应该使用来度量。在这种情况下，“表示已经消失的机械运动的量度”。因此，恩格斯得出结论：机械运动确实有两种不同的量度，每一种量度适用于一系列现象的明确范围内。“是以机械运动来量度的机械运动；是以机械运动转化为一定量的其它形式的运动的能力来量度的机械运动。”这两种量度具有不同的性质和适用范围，彼此之间并不矛盾。在爱因斯旦相对论中，对于洛伦兹变换，动量和动能构成一个四维矢量，彼此关联且密不可分，只有动量和动能这四个分量一起才能作为运动的全面量度。^[8]

功的概念起源于早期工业革命中的工程师们对于比较蒸汽机效率的需求。为了量度机器的输出，工程师们逐渐采用将机器举起的物体的重量与行程之积来衡量，并称之为功。在19世纪初，机械功测量活力的方法已经出现在动力技术著作中。1829年，法国工程师彭塞利首次引入了“功”这个词。随后，科里奥利在他的《论刚体力学及机器作用的计算》一文中明确将作用力和受力点沿力的方向的位移乘积定义为“运动的功”。功可以通过对作用力在距离上的积分来测量。这一概念的引入使得原来被称为活力的量与功相关联。^[8]

平动动能，即线动能。^[25]

^[26]

式中：为刚体质量；为刚体重心矢径；，，为刚体在，，轴上的速度分量。^[26]

转动动能，即角动能。^[25]

^[26]

式中：，，为刚体绕经，，轴转动的角速度；，，为刚体绕，，轴转动惯量。^[26]

首先，将物体平动动能表达式推广到以角速度绕固定轴转动的刚体^[注1]的情形。设刚体的转动惯量为，则其转动动能为。其次，在爱因斯坦的狭义相对论时空中，平动物体的动能等于运动物体的总能量减去物体静止时的能量：.^[27]

物体所受的合外力等于物体动量的瞬时变化率。动量是物体运动状态的描述，被称为牛顿所定义的“运动的量”，是力学中最基本的概念之一。当具有相同速度但质量不同的物体受到相同力的作用时，它们速度的变化是不同的。因此，仅通过速度无法完全描述物体运动状态的变化，除了速度还需要考虑物体的质量。质点动量（momentum）被定义为质点质量与其速度的乘积，它是一个矢量，并且方向与速度方向相同，记为。牛顿第二定律在数学上可表示为。而动能定理实质上就是牛顿第二定律的变形。^[28][29]

1835年，俄国化学家盖斯最早在实验中发现：“任何一个化学反应，无论是一步完成，还是多步完成，放出的总热量相同。”这证明能量在化学反应中是守恒的，盖斯也因此被认为是能量守恒定律的理论先驱。1853年，英国科学家焦耳写出了能量守恒定律的最终文字表述：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为别的形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中其总量不变。^[30][31]能量守恒定律是自然界中最基本、最普遍的定律之一，也是各种自然现象都必须遵守的定律。^[31]19世纪中叶后，恩格斯基于能量守恒定律的发现，揭示了动能与动量的本质区别。^[8]

动量（momentum），又称线动量，是与物体质量和速度相关的量，表示物体的质量与速度的乘积。动量通常可以定义为物体所具有的运动量。更具体地说，线动量是物体质量及其速度的乘积：。静止物体（零速度）的动量等于零。物体动量的变化可能是由物体质量的变化或速度的变化引起的。大多数人体运动，动量的变化是由速度的变化引起的。动量的单位是质量单位乘速度单位，用来表示。由于速度是矢量，所以动量也是矢量，并且遵循矢量合成和分解的规则。当两个物体发生正面碰撞时，两个物体都倾向于继续沿着动量大的物体所拥有的初运动方向运动。^[9]

各种不同保守力的功的具体形式虽不同，但都可以表示为某种仅与物体位置有关的标量函数在初始和终了位置的数值之差。因此，存在一个由系统内部质点之间的相对位置决定的状态函数，称之为势能（Potential Energy），并规定：系统相对位置变化的过程中，成对保守内力做功之和等于系统势能的减少量。^[10]

在实际中，各种形式的能量能够互相转化。如，海洋潮汐中具有的动能、势能可互相转化利用，使潮汐能成为一种可再生能源。潮汐能是海水周期性涨落运动中所蕴含的能量，其中水位差代表着势能，而潮流的速度则代表着动能。在海洋的涨潮过程中，涌向岸边的海水具有巨大的动能，随着海水水位的上升，它将其动能转化为势能；而在落潮过程中，海水急速流回大海，水位逐渐下降，势能则再次转化为动能。通常来说，平均潮差超过3米已经具备实际应用价值。^[13][14]

20世纪80年代初以来，各国家都投入了大量人力和物力，致力于探索和研究对未来世纪具有战略影响的各种新概念武器，并取得了不同程度的进展。其中最令人瞩目的是动能武器的突破性进展。^[4][32]

动能武器通常利用火箭推进或电磁力驱动，获得高速度，在弹头与目标碰撞时利用高速运动物体的巨大动能摧毁目标。与通常的爆炸性弹头不同的是，动能武器携带自带动力系统的自主飞行器被称为动能杀伤拦截器（Kinetic Kill Vehicle）。一个典型的动能杀伤拦截器主要由探测系统作为“眼睛”、制导与识别系统作为“大脑与神经”、以及动力系统作为“腿”等三部分组成。^[4][32]

动能武器技术的发展是一次跨世纪的重大军事技术革命。科学家将武器的发展分为冷兵器、热兵器和核武器等几个阶段。从热兵器发展到核武器是一次提高武器杀伤威力的革命，而动能武器则是提高精度的革命。^[4][32]

风力发电简称“风电”，可分为风电场和分布式风电两类，是指经由风力发电机组，将自然风的动能转变成机械能，再把机械能转化为电能的发电方式。^[33]目前主流的风力发电机双馈风机的频率控制策略中就包括转子动能控制。双馈风机作为目前的主流风力发电机，其频率控制策略主要分为转子动能控制、功率备用控制和附加储能系统控制。转子动能控制在最大功率点跟踪（maxi-mum power point tracking，MPPT）控制模式下，引入频率相关控制回路，利用转子快速吞吐动能的能力改变风机出力，参与系统调频。^[5]

城市轨道交通在设计时，将车站设在纵断面的凸形坡段上，可以利用动能和势能转化减少能量消耗，从而达到节能的效果。而火车在行驶过程中，如果遇到起伏坡道，可以利用坡度变化，调节列车速度，采用“多闯少爬”的方法，利用动能闯坡。^[6][34]在医学中，治疗呼吸系统疾病的医学器材雾化吸入器可以利用动能（如气流压力、超声波等）将装置中的药物变成细小的颗粒状或雾状，然后通过呼吸运动吸入患者肺内，经气道黏膜吸收从而达到治疗目的。^[7]