共振腔

共振腔（英语：resonant cavity^[1]），又称谐振腔、光学共振腔，^[2]是由镜面或其他光学元件排列而成的长度固定的腔体。共振腔是激光器的主要组成部分，腔中包含了增益介质。光在腔体内会发生多次反射，产生具有特定共振频率的模式。光学共振腔是激光组成的三要素之一。^[2]魏因施泰因（Вайнштайн）在1962至1965年间建立了双反射镜开式共振腔的完整理论并且发展了一系列方法。^[10]1958年，迪克（Dicke）提出了开式的共振腔结构。^[11]

共振腔的作用一方面是提供光学反馈能力以形成受激发射的持续振荡，另一方面则是对振荡光束的方向和频率进行限制，这种限制主要表现为对振荡光子方向和频率的限制，以保证输出激光的高单色性和高定向性。^[2]共振腔的形式多样，常见的有三种：第一种为平行平面腔，由两个平行平面反射镜组成，光学上称为法布里博罗光共振腔（Fabry-Perotresonator），简称为F-P腔，多用于固态激光系统。^[6]第二种为双凹腔，由两个凹面反射镜组成。^[7]第三种为平凹腔，由一个平面反射镜和一个面反射镜组成。^[7]设计共振腔时，需要考虑多个要素，如腔形、反射镜的曲率、以及孔径、腔的菲涅耳数N和Q值（品质因子）等。^[9]

共振腔不仅在光学领域有着广泛应用，还在量子计算、^[4]非线性光学、^[5]光频标、^[12]声学、^[13]纳米技术^[3]等方面发挥着重要作用。例如，在量子计算中，微柱共振腔提高了单光子源的提取效率。^[4]多组分玻璃微腔谐振器具有高非线性系数、高稀土离子掺杂能力、较宽的红外光谱范围和较低的声子能量等一系列优点等。^[5]

共振腔，又称谐振腔或光学腔，由两块反射镜组成。^[2]其中一块反射镜的光学反射率很高，接近100%，通常称为全反射镜，另外一块的反射率根据需要选择，称为输出反射镜，激光工作物质产生的激光从这块反射镜输出到腔外面。^[9]

20世纪初，爱因斯坦（Einstein）提出了受激辐射的概念，并在20世纪50年代初首先在微波波段实现了受激辐射的微波信号放大。但是要推广到光波波段存在着三大困难：首先，在共振腔内保持单一的电磁波模式，腔体尺寸应与波长同一量级，在微波波段容易实现，而在光波波段因波长太短而不易实现；其次，通过调节磁场强度，利用塞曼效应可以实现频率调谐，而在光波波段调谐范围很小；最后，因为自发辐射跃迁概率正比于辐射频率的立方，在光波波段自发辐射产生的噪声远高于微波波段。^[11]

魏因施泰因（Вайнштайн）在1962至1965年间，在一系列关于开式共振腔的研究中，得到这种系统中振荡特性的渐近公式，建立了双反射镜开式共振腔的完整理论并且发展了一系列方法：抛物线方程法、近似因子分解法、按连续谱的波进行谱分解的方法，等等。研究了行波管的非线性理论（1956至1957）。^[10]

1958年，迪克（Dicke）提出了开式的共振腔结构，这使得激光器的研究有了很大的进展。这种共振腔内高值的模式数减小到了几个甚至一个，这就使得光学共振腔在很多场合有了极高的应用价值。^[11]

当激光器内的工作物质采用某种方式建立了能级粒子数布居反转^[注1]状态时，其发光性质会发生重大变化。由于受激辐射的频率、位相和偏振状态都与诱发受激发射跃迁的光信号相同，因此，当某一光信号，它可以是外界来的，也可以是工作物质本身产生的自发辐射，通过工作物质时，会发生雪崩式的放大，只要工作物质的能级粒子数布居反转密度足够大，或者工作物质足够长，就可以获得很强的相干辐射。但是把激光工作物质放置在共振腔外的效果并不理想，效率不高，激光器体积也大，而且光辐射的相干性和单色性也不会很好，比较好的办法是把激光工作物质放置在共振腔内。共振腔起作用，工作物质产生的受激辐射在腔内不断来回通过激光工作物质，每通过一次，受激辐射的强度就增强一次，最后发生如同那种振荡现象，称为激光振荡。^[9]

从光的波动观点看，模式是电磁波动的一种类型，实际上是共振腔内可以容许存在的驻波；从光的粒子观点看，模式代表可以相互区分的光子态。不管从哪种观点看，每一种模式对应一种电磁波频率，如果腔内可以容许存在模式数目众多，激光器将发射许多不同频率的光辐射，输出的激光相干性将很差，单色性也不是很好。共振腔能够在众多的模式中，除其中一个或者少数几个模式之外，抑制其余所有不需要的模式，使它们不能形成激光振荡，能得到很好的单色性。^[9]

共振腔与外部（源或负载）发生能量耦合，这属于共振腔的激励和耦合的问题。将电磁能量耦合到共振腔或将电磁能量从共振腔耦合出来的装置，称为共振腔的耦合装置。^[15]共振腔中的能量向外部负载以耦合的方式输送出去，相反，外部的能量通过激励方式送入共振腔内，从本质上讲，耦合和激励是同类问题，都可称为耦合。耦合方式有以下几种方式：^[16]

（1）电场耦合。利用探针或电容膜片进行耦合，探针耦合应是探针沿着电场方向位于电场的最大值处，这种耦合方式是通过电场使共振腔与外电路相耦合。^[16]

（2）磁场耦合。利用耦合环或电感膜片耦合，耦合环耦合应是耦合环平面垂直于磁场方向位于磁场的最大值处，这种耦合方式是通过磁场使共振腔与外电路相耦合。^[16]

（3）电磁耦合。这种耦合通常是小孔耦合方式。它是通过腔壁上的小孔和相邻的波导耦合。小孔所取位置，应使腔中激励的振荡模式的场分量和波导中传输的那个波形场分量具有共同的方向，以便一个激励另一个。^[16]

通常与共振腔相“外接”的传输线中导行波的模式是已知的，而共振腔内希望激发的谐振模式也是已知的。因此，激励与耦合的问题就成为如何选择适当的激励与耦合装置以使其激励和耦合出所要求的模式，应尽可能消除不需要的模式。一般而言，传输线与共振腔之间的激励与耦合是可逆过程，即若传输线中的（传输）模式按某种方法激励起共振腔的（振荡）模式，则腔内的该（振荡）模式可按同样的方法在传输线中耦合输出原（传输）模式。^[17]

共振腔的特性包含几何量参数、共振腔因子、菲涅耳数、耦合输出、腔内光子寿命、光学损耗、腔膜和等价性。^[9][18]

共振腔腔型的和几何量表征的参数共振腔腔型相关的物理量中，几何量参数主要有共振腔的腔长，两块反射镜的曲率半径、孔径，腔的菲涅耳数，值和能量损耗因子。它们对激光器输出的激光光束方向性、激光光谱、腔内的模半径等起着重要作用。^[9]

共振腔腔长及反射镜的曲率半径表征的参数腔长及反射镜的曲率半径表征的参数主要是共振腔因子，它是评价共振腔稳定性（腔的衍射损耗大小）的重要参数。假定共振腔长为，两块反射镜的曲率半径分别为和，那么参数，。这两个式中的反射镜是凹面反射镜，如果反射镜是凸面的，则在曲率半径前面的负号改为正号；以上是属于空腔，即在共振腔内没有放置物质的公式。假如激光工作物质完全充满共振腔，那么参数与空腔的一样；如果工作物质并不完全充满共振腔，那么参数由下式计算：

。

。

式中，、分别是工作物质两端与反射镜和的距离，为工作物质的长度，为工作物质的折射率。^[9]

菲涅耳数N是表征共振腔光学衍射损耗的重要参数之一，定义为

。

式中，分别是组成共振腔两反射镜的孔径，为共振腔的腔长，是激光振荡波长。^[9]构成共振腔的镜片尺寸愈大，间距愈小，则在其中振荡的电磁波愈难逃逸出去，也就是共振腔的衍射损耗愈低。我们可以用菲涅耳数来表明共振腔的衍射损耗的大小，菲涅耳数俞大，衍射损耗俞小，其他形状镜面如图所示。^[18]

两个镜面尺寸大小可以不相等，分别用代表第一镜片孔径，代表第二镜片孔径。在实际应用中，一般采取圆形镜片，所以我们也只讨论圆形镜片的损耗。 ^[18]

耦合输出是指实施将共振腔内的激光振荡能量部分地引出腔外，有3种方法：

（1）透射耦合输出共振腔一端的反射镜有适当透过率，激光振荡的部分能量从这里输出腔外。^[9]

（2）孔耦合输出在共振腔一端反射镜的中心开小孔，或在全反射镜中央留一小区域不镀反射膜，激光振荡的能量从这小孔或从这不镀膜的区域输出腔外。高功率红外气体激光器和远红外气体激光器常用这种耦合方式。在反射镜上开的小孔会扰动腔内激光振荡，使光振幅的极大值朝反射镜边缘推移。除共振腔的菲涅耳数很小的情况之外，各阶低次模的能量损耗趋于相同，即用这种耦合方法时共振腔的选模能力较弱。^[9]

（3）衍射耦合腔内振荡模的能量通过衍射效应从共振腔一端的反射镜边缘输出腔外。非稳定腔通常用这种耦合方法。^[9]

共振腔内光子寿命是表征典振腔内光辐射能量损耗大小的参数，共振腔光子寿命长，表示光辐射能量在腔内的损耗小；它也是表征共振腔的共振频谱宽度的参数，光子寿命长的频谱线宽度窄。光子寿命定义为腔内光辐射能量从初始值衰减到其时所经历的时间：

。

式中，、为共振两反射镜的反射率，为腔内工作物质折射率，为典振腔的腔长，为腔内平均光学损耗，为真空中光速。沿与共振腔轴线成角传播的光波，其光子寿命，式中为共振腔孔径。^[9]

光场在共振腔内传播过程中的能量损耗主要有反射镜引起的损耗，包括反射镜透射损耗和表面光学缺陷引起的散射损耗和吸收损耗；激光工作物质引起的光学吸收、散射损耗；共振腔的孔径衍射损耗，这部分损耗与共振腔结构和振荡模阶数有关，如非稳腔的衍射损耗比稳定腔的大，高阶模的衍射损耗比低阶模的大。^[9]

共振腔的Q值也称共振腔品质因子，表征共振腔能量损耗，由下式定义：

。

也可以近似地表示为：

。

式中，是共振腔的长度，是共振腔内的光学损耗系数。^[9]

不同阶次的模，其光场振幅、位相、空间分布、传播方向、偏振状态和频谱都不相同。一般用符号来标记各种振荡模，“TEM”是英“transverse electromagnetic mode”的缩写，下角的代表纵模序数，其值很大（数量级为，这里的是共振腔腔长，是波长），书写时常省略；下角、代表横模序数。^[9]

（1）横模，在与光波传播方向垂直的截面上的稳态光场分布，用符号标记不同阶的横模，其中、同时为零的模，即称为基模。按光电场分布的对称性，横模又可分为轴对称横模、旋转对称模，前者的光电场振幅以轴（或轴）对称（笛卡儿坐标）；旋转对称模是其光电场以中心轴旋转对称，绕该轴转过一定角度之后光电场分布又重合，这种横模用符号标记（极坐标）。^[9]

（2）纵模在共振腔内光辐射沿纵向（传播方向）的稳定场分布。光波在共振腔中沿轴线方向来回传播，即腔内存在两列沿相反方向传播、频率相同的光波。这两列光波叠加形成驻波。在平行平面镜组成的共振腔内，只有当光波波长入满足条件（式中是正整数，为腔长）的受激辐射，形成的驻波场才是稳定的，这些稳定的驻波场便是共振腔的纵模。波长为的光波其纵模数目相应于腔内驻波场中波腹的个数：。光波波长很短，所以纵模数目很大。当共振腔内均匀充满折射率为的介质时，纵模数目。^[9]

如果一个球面腔满足稳定腔的条件，则可以找到一个，且只有一个相应的共焦腔与它有相同的振荡模。所以，任何一个球面共振腔的模参数都可由它的等价共焦腔求得。同样地，一个多镜腔（如折叠腔）也可以等价于一个由两块反射镜组成，使分析更简捷。等价对称共焦腔的两反射镜的曲率半径R由下式求出：

。

式中，、分别是实际共振腔两射镜的曲率半径，是腔长。^[9]

共振腔的本征模式是指共振腔中能够存在（振荡）的、不随时间改变的、具有特定场振幅分布的电磁场，它由共振腔的结构决定。当共振腔的几何参数（如腔长、反射球面的曲率半径等）改变时，其本征模式场振幅分布也会发生改变。腔内电磁场的空间分布可分解为沿腔轴线方向（光束传播方向）的分布与垂直于传播方向的横截面内的分布。其中，沿腔轴线方向的稳定场分布称为共振腔的纵模（存在于腔内的每一种驻波光场，用模序数——沿腔轴线的光场节点数来表征），横截面内的场分布称为共振腔的横模（用模序数、——沿横向坐标方向的光场节线数来表征）。本征模式能够在腔内自再现其本身所特有的场分布。^[19]在激光技术中，经常用纵模和横模来表征光学共振腔中形成的辐射场的特性。^[20]

平行共振腔的特点是由两块平面反光镜组成。平行平面腔在光学上称为法布里-博罗光共振腔（ Fabry-Perot resonator），简称为F-P腔，多用于固体激光系统中。^[6]

由平行平面反射镜组成的共振腔如图所示，若长为，直径为，则光线和平面反射镜法线夹角为时，在腔内行经长度后，必将走出反射镜所限的空间，所经时间为，则有

。^[9]

工作原理

工作介质虽然可以使光有所放大，但是如果这些气体分子受激放大的光在方向上是混乱的，那么放大的效果就会很差，有了平行平面共振腔不但可以获得更好的放大，而且还可以使分子或原子的辐射激发步调和方向一致，实现更有效的受激放大作用。^[21]

球面共振腔的特点是特点由反射球面组成。当球面共振腔的球心相互重合时，可用球面波代替平行平面中的平面波作为基本波型。球面波和平面波之间存在一一对应关系，将平行平面腔所有结果转译成球面腔的结果，且当腔长度和腔体积相同时，波型数亦相同。当工作物质尺寸不够大时，用球面和平面组成等价长度倍增的共振腔，通过球心的光束对应于平行面时，垂直入射的光束为此时的主波型，如图所示；当这两个球面的球心不重合，而是一个球面的球心处在另一面上时（二球面半径需相等），这种共振腔称为共焦共振腔。由图所示的物像关系可见，大量波形具有与同心球面时的主波形相同衰减率。这是由于光束经过一次反射仍然成像为其本身之故。^[9]

当共振腔线度远大于波长，以致衍射损失不重要时，光束内部各波型具有完全相同的衰减率。此时决定波形数的立体角不由决定，而直接是由决定，亦即波形数大大增加。这种共焦共振腔几乎没有几何精度要求，在达到自振状态后光束内部的波形一经产生，即可在腔内无限地长久存在。平面反射面可以用全反射棱镜代替，反射损耗可减少。^[9]

工作原理

横流激光器通常有大的菲涅耳数，激活体积横截面为矩形，当采用稳定腔时，一般得到的是多模激光输出。这种稳定共振腔，通常为球面共振腔。^[22]

回型稳定球面共振腔的特点是由多个球面镜（或球面镜和平面镜混合）组成并能提供多边形往返振荡回路，这种共振腔一般称为回形球面腔，这种共振腔在激光陀螺仪中具有重要的实际应用意义，此外，在诸如单向行波激光器和波型限制技术等方面，也有其特殊应用价值。同普通的球面共振腔一样，当回形球面腔的组成几何参数（镜面曲率半径、间距等）满足一定的条件时，特定的细光束可在腔内往返足够多的次数而不会横向偏折出腔外，此时，可称回形腔处于稳定工作状态。对于满足稳定工作条件的回形球面腔来说，其腔内共振光束光斑尺寸（或所占据的空间范围）的分布和发散角的大小，相对于腔的几何参数的变化有其一定的规律性。一般情况下，可采用腔内光束坐标转换的矩阵理论来讨论回形球面腔的有关特性；在某些情况下，也可采用其他的方法来分析回形球面腔的有关特性。^[23]

根据稳定条件，共振腔可以分为稳定腔、不稳定腔和介稳腔，代表着腔内光能横向逸出损耗的不同。稳定腔是指所有腔内近轴光线的横向逸出损耗均为零；不稳定腔是指所有腔内近轴光线的横向逸出损耗均不为零；介稳腔是指腔内只有轴向光线的横向逸出损耗为零，其它近轴光线的横向逸出损耗均不为零。^[24]

为了直观和方便，通常以为横坐标，为纵坐标，画出的双曲线，称为稳定性图，图上任一点都代表着，给定的一种共振腔。由两个坐标轴（，）以及的两条双曲线所限定的阴影区域对应着一般腔的稳定工作区域，在这个区域内，稳定条件得到满足。坐标原点（0，0）代表对称共焦腔，阴影以外的区域对应着不稳定腔。图中双曲线和坐标轴（除原点）是稳定区和不稳定区的界线，对应着介稳腔，处于稳定与不稳定的临界状态。^[24]

根据共振腔的开放程度，激光器的共振腔分为闭腔、开腔和气体波导腔，其中开腔（开放式光学共振腔）通常分为稳定腔和非稳定腔。稳定腔的波形限制能力弱，激光束的发散角较大，但腔内损耗小。非稳定腔的波形限制能力强，模体积和衍射耦合输出可控性强，激光束的发散角较小，但腔内损耗较大。最简单的腔型结构是直腔，它比较容易形成稳定腔，在通常情况下，多采用稳定腔作为激光器的共振腔。稳定腔包括共焦腔、共心腔和平凹腔等。在高增益的激光器中为了获得较好的横模激光输出，常采用非稳定腔作为激光器的共振腔。实用的非稳定腔有双凸腔和平凸腔两类。^[6]

依据共振腔的特性，其在光学、^[5][12]声学、^[13]量子计算^[3]和纳米技术^[4]方面都有着不同的应用，例如在声学中，依靠共振腔的共振特性可以将声能转化成热能，^[25]在光学上可以根据要求设计从而得到不同的非线性系数，红外光谱范围等^[5]同时能够对激光的线宽。^[12]不仅如此，纳米机械共振腔还可用来存储量子信息和作为数据总线耦合多个量子比特。^[3]

基于回音壁模式的多组分玻璃微腔谐振器结合了传统石英光学微腔谐振器和多组分玻璃材料的优势，相较于材料为石英的传统光学微腔谐振器，多组分玻璃微腔谐振器具有高非线性系数、高稀土离子掺杂能力、较宽的红外光谱范围和较低的声子能量等一系列优点，己广泛应用于非线性光学领域。^[5]

在被动式光频标中，用于钟激光稳频的超稳共振腔具有由腔体布朗运动导致的热噪声，由此限制了钟激光的线宽，是被动式光频标稳定度提高的主要局限因素。主动式光频标利用原子在坏腔中的受激辐射得到频标信号，因而对腔牵引效应具有抑制作用，可以极大地降低共振腔布朗热噪声对频标稳定度的影响。^[12]

穿孔共振腔又称亥姆霍兹共振器，是一种典型的低频消声结构，它由主管道上旁接的一个细管和一个封闭空腔组成，其结构示意图如图所示。^[13]

共振腔消声器是由一段开有若干小孔的管道和管外一个密闭的空腔所组成。小孔和空腔组成一个弹性振动系统，当气流的声波频率和共振腔振动系统的同有频率相同时，这个振动系统就发生共振，孔颈中具有一定质量的空气柱运动速度加快，摩擦阻力增大，大量声能转化为热能而消耗掉，从而达到消声的目的。^[25]

为了能够真正用于可扩展、实用化的量子信息技术，单光子源需要同时满足三个核心性能指标：高单光子性、高光子全同性和高提取效率。前两项单光子性、全同性已在实验上通过脉冲共振荧光激发的方式实现。为了进一步提高提取效率，需要将量子点单光子源耦合进微腔中。为此制备了高品质的量子点样品与微柱共振腔，在脉冲共振激光激发下，实验上观察到的单光子性为99.1％，光子全同性为98.5％，单光子提取效率为66％，这是首次量子点单光子源同时满足三个核心指标。这样的单光子源可在将来应用于大规模多光子干涉，推动光学量子计算领域的发展。^[4]

纳米机械共振腔就是一种典型的纳米电机系统。纳米机械共振腔具有广泛的应用价值。基于纳米机械共振腔的磁共振力显微镜可以用来探测单个电子的自旋。许多关于纳米机械共振腔的量子态的制备及冷却方案被提出。此外，纳米机械共振腔被用来存储量子信息和作为数据总线耦合多个量子比特。^[3]