伯努利微分方程

伯努利微分方程（Bernoulli differential equation^[2]）是一种非线性的一阶微分方程，其形式为y'+P(x)y=Q(x)yn，其中n为常数，P(x)，Q(x)为连续函数，且n≠0，1。伯努利微分方程经过适当的变量变换之后，可以化为一阶线性微分方程。^[8][1]

十七世纪末，科学家们为了解决物理问题和天文学问题开始研究微分方程，微分方程几乎是与微分，积分同时产生。荷兰数学家、 物理学家、天文学家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在1693年的《教师学报》中明确提出微分方程。雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）是利用微积分求常微分方程问题分析解的先驱者之一，在1690年，他发表的关于等时问题的解答中就引入了微分方程。在1691年6月的《学报》中他又给出了用微积分方法建立悬链线问题的解答。1691年，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出了常微分方程的变量分离法，并函告惠更斯。最终，伯努利在1695年的学报中提出了伯努利微分方程的问题特征解。^[3]

伯努利微分方程主要有转化为线性方程、常数变易法、变量代换法、积分因子法和部分凑微分法五种求通解的方法。^{[1][9][10][11]}伯努利微分方程可以进行推广，扩大应用范围。广义伯努利方程的解法主要有全微分法和变量替换法。^[12]伯努利微分方程在工程学、流体力学和统计学中都有广泛的应用，用于解决不同类型的问题。在流体力学中，伯努利微分方程在研究油品与海水二维流动中的流体运动提供了重要的理论基础。^[5][6][7]

形如的微分方程称为伯努利微分方程，其中为常数，，为连续函数，且。^[1]

当时，方程为一阶非齐次线性微分方程；当时，方程为一阶齐次线性微分方程。^[13]

十七世纪末，科学家们为了解决物理问题和天文学问题开始研究微分方程，微分方程几乎是与微分，积分同时产生。常微分方程最早的著作出现在数学家们彼此的通信中，或者出现在那些常常重登书信中建立或说明的结果的刊物中。1693年，荷兰数学家、 物理学家、天文学家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在《教师学报》中明确提出微分方程。雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）是利用微积分求常微分方程问题分析解的先驱者之一，在1690年，他发表的关于等时问题的解答中就引入了微分方程。在1691年6月的《学报》中他又给出了用微积分方法建立悬链线问题的解答。同年，他的微积分教本中又对这个问题进行了完整的阐述。^[3]

1691年，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出了常微分方程的变量分离法，并函告惠更斯。同年，他还给出的求解方法，约翰·伯努利（Johann Bernoulli）在1694年的《教师学报》中对此作了更加完整的说明。1694年，莱布尼茨在利用变量替换法给出了的解。1695年，雅各布·伯努利在学报中提出了伯努利微分方程的问题特征解。1696年，莱布尼茨给出证明，利用变量替换，可以把伯努利微分方程化为关于未知函数及其导函数都是一次的线性方程。^[3]随着计算机的发展，推动了数学问题的算法化，解决了许多只有算法而实际上又不可实行的问题。^[14]在19世纪，爱达勒芙蕾丝（Ada Lovelace）于1842年为查尔斯·巴贝奇（Charles Babbage）分析机编写求解伯努利微分方程的程序，因此她被大多数人认为是世界上第一位程序员。^[15]

含有未知函数导数（或微分）的方程，称为微分方程。在微分方程中，若未知函数是一元函数，则称为常微分方程。未知函数是多元函数，则称为偏微分方程。微分方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶。阶微分方程一般记为。^[16]

例：（1）（2）

（3）（4）

（5）（6）

以上6个方程都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）是一阶常微分方程，（5）、（6）是二阶常微分方程，（4）是二阶偏微分方程。^[16]

未知函数及其导数都是一次的微分方程，称为一阶线性微分方程。一阶线性微分方程的一般形式为。其中，，为常数，称为自由项或非齐次项。^[17]

若自由项时，方程称为一阶齐次线性微分方程。若自由项时，方程称为一阶非齐次线性微分方程。^[17]

一阶齐次线性微分方程通解为，其中为任意常数。^[17]

一阶非齐次线性微分方程通解为，其中为任意常数。^[17]

伯努利微分方程可通过适当的变换化为线性方程，为展示这一过程，方程两边都除以可得（1）。

这里做变换，有。

则式（1）可化成如下一阶线性微分方程：

（2）。

因此，伯努利微分方程可以做变换得到一阶线性方程（2），也就是说伯努利微分方程的通解可由求方程（2）的通解得到。如果想求全部解，需要检验是否也是方程的解。^[1]

例1：求伯努利微分方程的通解。

改写成伯努利微分方程的标准形式。

以遍除原微分方程，并作代换，，有，即。其通解为（这里，遍除已失去特解），其中为任意常数。^[18]

伯努利微分方程对应的一阶齐次线性微分方程的通解为。

设（3）为伯努利微分方程的解，有（4）。

将（3）（4）式代入伯努利微分方程，得，即。

两端取积分。

故伯努利微分方程通解为，其中为任意常数。^[9]

例2：求伯努利微分方程的通解。

设，得。

将其代入原方程，有，则。

所以方程的通解为，其中为任意常数。^[9]

设是伯努利微分方程的解 ，则，代入方程得（5）。

令，得（6）。

将（6）式代入（5）式得，

即。

故伯努利微分方程通解为，其中为任意常数。^[9]

例3：求伯努利微分方程的通解。

设是方程的解，代入方程得，即。

令，得。

代入上述方程为，则。

所以方程的通解为，其中为任意常数。^[9]

将伯努利微分方程改写为微分形式，两边同时乘以，并变形得，两边同时乘以，得，也即。该式为全微分方程，因此所给的伯努利微分方程的积分因子为（7）。

所得全微分方程的通解 ，也即伯努利微分方程的通解为，其中为任意常数。^[10]

例4：求微分方程的通解。

该方程是的伯努利微分方程 ，由式（7）知其积分因子为。方程两边乘以积分因子并整理得，。

故通解为，其中为任意常数。^[10]

将伯努利微分方程两端同时除以得，若存在使得，从而有。其中，，故有，从而有，，所以原方程的通积分为，其中为任意常数。^[11]

例5：求方程的通解。

此方程为伯努利微分方程，且，。

易得，。

故原方程的通解为。即，其中为任意常数。^[11]

伯努利微分方程可以进行推广，扩大应用范围。首先，将其变形为（1），其中。

在不考虑积分常数的情况下，，受此启发，将方程（1）进行一般推广，可得到广义伯努利方程（2）。

满足条件：（3）。^[12]

首先将满足条件（3）的方程（2）等价地写成如下形式

（4）。

设，，

虽然不是全微分方程 。由于仅跟有关 ，将上式两端同乘以积分因子，得（5）。

当且仅当时 ，方程（5）为全微分方程 。于是有，故，从而得积分因子。

将上述积分因子代入（5），可得到在条件（3）下求广义伯努利方程（2）的隐式解公式（为任意常数）。^[12]

首先 ，将（3）代入（2），有（7）。

进一步 ，有（8）。

令，则，于是可将（8）式变形为（9）。

（9）式两边同除以，整理得到。

通过求此一阶线性非齐次微分方程 ，得到方程的隐式解，其中为任意常数。^[12]

裂纹在航空航天及海洋结构中普遍存在，包括因材料缺陷、加工引起的初始裂纹和疲劳载荷引起的裂纹。研究裂纹扩展规律和裂尖应力场对评估结构剩余承载能力至关重要，特别是对于承受交变波浪载荷的船体结构。研究者基于能量差率原理，将非穿透裂纹深度的相对值作为控制裂纹扩展的无量纲几何参量，构建了求解裂纹张开位移幅值的伯努利微分方程。通过这一方程，他们得出了裂纹张开位移幅值的表达式，并获得了有限大体非穿透裂纹三维应力强度因子的闭合解。在这些研究中，裂纹通常被简化为二维薄壳结构，但实际工程中裂纹形状往往不规则，因此利用实体单元进行裂纹扩展和裂尖应力场分析有望提高计算精度。^[5]

研究者应用伯努利微分方程提出理论模型， 通过解析计算并时域仿真了泄漏过程，开发了流体体积法（Volume of Fluid，VOF） 分析了破舱中油品与海水的二维流动来预测搁浅油船油品泄漏，但由于模型回避了油品泄漏过程中粘性流体瞬态流动的本质特征，只是通过缩尺模型试验结果得到不同大小的能量修正系数，预测得到的泄漏时间存在很大差异。该预测方法体现了预测结果的不确定性，其中也暗含了由于流体粘性产生的尺度效应影响着泄漏过程与结果。^[6]

在自然灾害风险分析中，灾情数据都是呈起伏变化很难具备严格单调增加或严格单调减少的特点。非线性灰色伯努利模型（NGBM）便是针对这一问题所提出的。研究者将通过对洪涝灾变年序列及其灾情指数序列的研究，寻找规律，采用粒子群优化算法解决建模的参数优选问题，对原始序列进行累加生成以消除原序列的无序性，建立伯努利微分方程，运用差分和最小二乘法求微分方程的系数向量，建立基于粒子群的NGBM预测模型，对1990年至2013年的广西洪涝中灾年以上的灾情指数及灾变年进行拟合预测逐步实现灰色系统的洪涝灾情与灾变年的同步预测。^[19]