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线性微分方程（linear differential equation）是所含未知函数以及未知函数的各阶导数或微分都是一次的微分方程就是线性微分方程。[1]方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数为该微分方程的阶数。根据阶数不同可分为一阶线性微分方程和二阶线性微分方程等。[4]线性微分的线性则体现在方程中未知函数及其导数都是一次的。[3]
十七世纪，首先由牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibinitz）发明了微积分，同时产生了微分方程问题。[2]到17世纪末及18世纪，常微分方程的研究主要是集中在求微分方程各种具体类型通解的明显表达式，即把微分方程的解化为初等函数或初等函数的积分的各种特殊方法上。[5]
线性微分方程根据不同情况可以选用不同的方法求解，比如待定系数法、参数变易法等。[6]运用线性微分方程可以求解多种类型的实际问题，也可以进行物理学等学科的问题研究。例如，可以用于解决建筑施工中的压杆稳定问题和弹性基地梁问题等问题。也可以用于物理学中振动系统、电学系统的问题研究。还可以用于建立一些医学模型，比如肿瘤生长规律模型。[7][8][9]
定义
含有未知函数的导函数或微分的方程称为微分方程，其中所含未知函数以及未知函数的各阶导数或微分都是一次的微分方程就是线性微分方程。[1]其一般形式为，其中系数，，是自变量x的已知函数或常数。函数称为线性方程的自由项。时，称方程为齐次的；时，称方程为非齐次的。使得系数，，和自由项都连续的区间称为方程的容许区间。[10]
简史
十七世纪，促使牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibnitz）发明微积分，同时也产生了微分方程问题。牛顿力学一般导致一个常微分方程组，例如天体力学中的“二体问题”，就是解一个二阶微分方程组。[2]
1693年，莱布尼兹对齐次方程用代换，将一阶微分方程化成了变量分离这种简单基本的方程；不久之后，对线性方程用未知函数，的乘积代换，也可将微分方程转化为分离变量方程求解。[2]
1696~1697年，莱布尼兹和瑞士著名数学家伯努利兄弟用同样方法解决了所谓伯努利方程（）。他们指出，在的代换下，这方程就变成线性方程。[2]
1743年，欧拉用代换给出任何阶的常系数线性齐次方程的古典解，在同一篇论文中，欧拉指出阶方程的通解是它个特解的线性组合。而达朗伯尔（D'Alembert）则得出：非齐次线性方程之通解由齐次线性方程的通解及非齐次线性方程的任一特解所组成这一基本定理。[2]
解的结构
阶线性微分方程的一般形式：。当时，称为阶线性齐次微分方程。当时，称为阶线性非齐次微分方程。以二阶为例（Ⅰ），（Ⅱ）。非齐次线性方程（Ⅰ）和与它对应的齐次线性方程（Ⅱ）的解的结构，有以下几个结论：[11]
（1）若，是齐次线性方程（Ⅱ）的两个解，则也是齐次方程（Ⅱ）的解。[11]
（2）若，是线性齐次方程（Ⅱ）两个线性无关的解，则是线性齐次方程（Ⅱ）的通解。[11]
（3）若是非齐次方程（Ⅰ）的一个解，是齐次方程（Ⅱ）的通解，则是非齐次方程（Ⅰ）的通解。[11]
（4）若是方程的解，是的解，则是方程的解。[11]
（5）若是线性方程的复数解（，，，都是实函数），则解的实部和虚部分别是方程及的解。[11]
一阶线性微分方程
形如（a）的方程，称为一阶线性微分方程，其中，为已知的连续函数。如果，则方程（a）变为（b）。方程（b）称为一阶齐次线性微分方程。如果不恒等于零，则方程（a）称为一阶非齐次线性微分方程。通常方程（b）称为方程（a）所对应的齐次线性微分方程。[12]
一阶齐次线性微分方程的解法
一阶非齐次线性微分方程的解法
首先，求出一阶非齐次线性微分方程（a）所对应的一阶齐次线性微分方程（b）的通解。其次，利用“常数变易法”求一阶非齐次线性微分方程（b）的通解。[12]
方程（a）和方程（b）的左边相同，而右边不同。因此，如果假设方程（a）具有形如的解，那么其中的不可能是常数，而应是的函数，设为。于是，可设为非齐次线性微分方程（a）的解，其中为待定函数。因为，将，代入方程（a）可得。再两边积分得，最后将代入，得到一阶非齐次线性微分方程（a）的通解为。[12]
二阶常系数线性齐次微分方程
形如（，为常数）的微分方程称为二阶常系数线性齐次微分方程。[13]
由二阶线性齐次微分方程的解的结构可知，要求方程的通解，只需找出它的两个线性无关的解即可。观察此方程的特点可得，未知函数具有（为常数）的形式，将代人并化简得由于，所以。当满足时，函数就是的解。我们把称为的特征方程，称为特征根。[13]
由此，给出（，为常数）的求通解步骤：[13]
1.写出的特征方程；[13]
2.求出特征根与；[13]
3.根据与的情况，确定的通解：[13]
| 与的情况 | 通 解 |
|---|---|
| 两不相等实根（） | |
| 两相等实根（） | |
| 一对共轭复根（） |
二阶常系数线性非齐次微分方程
形如的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，由线性方程解的结
构定理可知，求的通解问题可归结为求对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。一般地，求线性非齐次方程的特解是比较困难的，但对于自由项的一些特殊情形，仍是有法可循的。[14]
1.其中是常数，是的一个次多项式：。可以得出：[14]
（1）.若不是特征方程的根，则的特解形式为;[14]
（2）.若是特征方程的单根，则的特解形式为;[14]
（3）.若是特征方程的二重根，则的特解形式为;[14]
其中是与同次的多项式。[14]
2.其中，是常数，、分别是的次、次多项式，与不全为零，记，则非齐次线性方程的特解形式为其中与均是次多项式，而按不是特征根，或是特征单根依次取0或者1。[14]
将二阶常系数非齐次微分方程的特解形式归纳如下：[14]
| 自由项形式 | 特解形式 |
|---|---|
| （按非特征根、是单根或重根，依次取0，1和2） | |
| （按非特征根或是特征单根分别取0或1） |
变系数线性微分方程
变系数的线性微分方程一般来说都是不容易求解的，但是有些特殊的变系数的线性微分方程，则可以通过变量代换化为常系数的线性微分方程，因而容易求出线性微分方程的解．欧拉方程就是可以转化为常系数的线性微分方程的一种。形如的变系数的线性微分方程就称为二阶欧拉方程。其中，为常数。为已知的连续函数。作变量代换或。计算整理可得，这是常系数的线性微分方程，求出通解后，再用代入，可得欧拉方程的通解为。[15]
建筑施工
在结构设计或建筑施工中，经常会遇到压杆稳定问题。为了使压杆的直线平衡状态是稳定的，避免杆件丧失稳定，引起破坏。可以运用线性微分方程来求出压杆的临界力，使纵向压力小于临界力，就可以保证压杆的直线平衡状态是稳定的；此外，建筑施工中的建筑结构的振动问题以及弹性地基梁问题等也需要用到线性微分方程来解决。[7]
物理研究
在求解物理中的振动系统和电学系统等实际问题时，也需要结合力学和电学的基础知识，正确建立线性微分方程，然后选择适当的方法求出方程的解，以解决这些具体的问题。例如，可以运用线性微分方程来计算挂着弹簧的重物的运动规律或者是液体中质点的运动规律。[8]
医学模型
参考资料 15
- 参考 1
- 参考 2
- 参考 3
- 参考 4
- 参考 5
- 参考 6
- 参考 7
- 参考 8
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
- 参考 14
- 参考 15