等价无穷小

等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。等价无穷小也是同阶无穷小。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。

等价无穷小的定义：设当 时，和 均为无穷小量。若，则称和 是等价无穷小量，记作。

例如：由于，故有。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

无穷小等价替换定理

设函数，在 内有定义，且有

(1)若，则；

(2)若，则。

证明：

(1) 。

(2)。

例如：利用等价无穷小量代换求极限

解：由于，

而，， ，

故有。

注意：等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意 单独代换或分别代换）。如在上例中：

若因有，，而推出 ,则得到的是 错误的结果。

注：可直接等价替换的类型

（以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则）

需要满足一定条件才能替换的类型

若，则

（该条性质非常重要，这是判断在加减法中能否分别等价替换的重要依据）

变上限积分函数（积分变限函数）也可以用等价无穷小进行替换。

当 时，

注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。

α和β都是无穷小，且，存在（或）,则有

数学分析的基础概念。它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用。所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。历史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值，并且最终与它的差要多小就有多小”(《分析教程》，1821)，这个定值就称为这个变量的极限。其后，外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))按照这个思想给出严格定量的极限定义，这就是现在数学分析中使用的ε-δ定义或ε-Ν定义等。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则。在分析学的其他学科中，极限的概念也有同样的重要性，在泛函分析和点集拓扑等学科中还有一些推广。