牛顿恒等式

牛顿恒等式（英语：Newton's identities）描述了幂和对称多项式和初等对称多项式此两种对称多项式之间的关系。牛顿在不知道阿尔伯特‧吉拉德先前的成果下，于约1666年发现这些恒等式。这些恒等式目前已被应用在许多数学领域，如伽罗瓦理论、不变量理论、群论、组合学，也被进一步应用于数学之外，如广义相对论。

对于n次多项式.,有著名的牛顿恒等式。他是n次方程的n个根的同次幂的和与F(X)的函数之间关系的明确表述。

牛顿恒等式叙述如下：

设的n个根.对于,记。则有

，当

，当。

对于一元二次方程，即：。

此时，牛顿恒等式为：

牛顿恒等式，设为方程两根，对于,记,则有

下面是2，3式的证明：

2）的证明：

由于为方程二根，易得。

当时，分别以和乘上这两个式子，得

相加（4）式，即可得（2）。

（3）的证明：

由韦达定理：,所以,即（3）一式成立，又因为,所以,即，即（3）二式成立。

对于其他情况，可以类比（2）（3）式加以证明。

证明韦达定理

由（3）式证明即可以看出：通过韦达定理既然可以推出（3）式，那么牛顿恒等式（3）式与韦达定理是等价的。通过逆推就可以证明韦达定理的正确性。

其他有用推论

1，通过方程1系数a，b，c，即可逐个确定

2，如，则

3，通过牛顿恒等式，也可以由a，b，c的奇偶性推知的奇偶性。