欧拉常数

莱昂哈德·欧拉提出的数学常数

欧拉常数

欧拉常数(Euler Constant)，全名欧拉-马斯凯罗尼常数(Euler-Mascheroni Constant)，其近似值为0.57721566490…，是瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）提出的数学常数。其定义为调和级数与自然对数差的极限。目前使用字母γ来表示。[0][4][1][5]1734年，莱昂哈德·欧拉在他的文章中首次提出欧拉常数[3][2]，他本人曾用字母C来表示这个常数，并精确计算到了小数点后5位。1790年，意大利数学家马斯凯罗尼（Mascheroni）引入了字母γ作为欧拉常数的新符号，并将其计算到了小数点后32位。截止到2021年4月29日，欧拉常数已经计算到了16695279010位。目前无法论证欧拉常数是否为有理数还是无理数。[6][5][7][0][2]

欧拉常数(Euler Constant)，全名欧拉-马斯凯罗尼常数(Euler-Mascheroni Constant)，其近似值为0.57721566490…，是瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）提出的数学常数。其定义为调和级数与自然对数差的极限。目前使用字母γ来表示。[1][5][2][6]

1734年[注1]，莱昂哈德·欧拉在他的文章中首次提出欧拉常数[4][3]，他本人曾用字母C来表示这个常数，并精确计算到了小数点后5位。1790年，意大利数学家马斯凯罗尼（Mascheroni）引入了字母γ作为欧拉常数的新符号，并将其计算到了小数点后32位。截止到2021年4月29日，欧拉常数已经计算到了16695279010位。目前无法论证欧拉常数是否为有理数还是无理数。[7][6][8][1][3]

欧拉常数在数学上是一个重要的常数，其推导方法有利用数项级数收敛和积分中值定理等。[9][7]可利用欧拉-麦克劳林公式积分法计算出欧拉常数的近似值。[10]欧拉常数应用广泛，可以用于证明调和级数发散、数项级数求和以及定积分计算、数列求极限等。[11][12][7]

历史

欧拉常数，首次由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1734年的发表的文章中提出，其近似值为0.57721566490...。欧拉本人曾用字母C来表示这个常数，并精确计算到了小数点后5位。到了1761年，欧拉进一步将这个值计算到了小数点后16位。1790年，意大利数学家马斯凯罗尼（Mascheroni）引入了字母γ作为欧拉常数的新符号，并将其计算到了小数点后32位。然而，后续的计算发现马斯凯罗尼在第20位时出现了错误。至于欧拉常数是否为有理数，这一问题至今仍未有定论。截止到2021年4月29日，欧拉常数已经计算到了16695279010位。[1][3][8][4]

定义

欧拉常数（Euler Constant)0.57721566490153286

其定义为调和级数与自然对数差的极限，数学上表示为：，其中[6][13]

欧拉常数还有以下几种表达形式：

设为调和级数的前n项和，即

记，可以证明数列的极限存在。

设，即

或[14]

级数形式及常义积分形式有（1）

（2）

（3）

（4）

（5）[15]

广义积分形式有欧拉常数

或

证明只需将（3）、（4）中作代换，即，该表达式即可成立。[15]

欧拉的推导方式

1734年莱昂哈德·欧拉是这样得到欧拉常数的：

利用的Taylor 展开得

于是，

以代入得

故，[16]

数项级数的收敛

设为调和级数的前n项和，即

记，可以证明数列的极限存在。

由定积分的知识，可知

当时，有，故

因此，

又

所以序列单调有界，存在[7]

积分中值定理

因为

所以

利用积分中值定理得是常数

所以

又因为，而级数收敛，所以级数也收敛

于是极限存在[9]

函数不等式

当时，有以下不等式成立：

（1）

取，得（2）

设

则（3）

而（4）

将（2）代入（3）可知（5）

将（2）代入（4）得（6）

式（6）说明数列单调下降，式（5）说明数列有下界。根据单调有界数列极限存在准则可知，极限存在。

即[9]

几何意义

欧拉常数可以通过几何图形来直观理解。如下图所示：

欧拉常数的几何意义
欧拉常数的几何意义

位于曲线上方从左到右前n个曲边三角形面积之和为，由于这些三角形的底边长度为1，竖的直角边长度总和不超过1，可以将它们全部放置在一个单位正方形内，这意味着这些三角形的总面积不会超过1。同时，由于每个三角形的面积都是正的，可以通过对这些三角形面积的求和来逼近欧拉常数。故序列是单调的，单调有界，故存在。这种几何方法为理解欧拉常数提供了一个直观的视角。[7]

与伽玛函数及Ψ函数的关系

从函数的定义得知，

因此有[17]

积分表达式

定理一

证明：（1）

由的展开式，

通过运算得到

因此式（1）中右端的第一项为

再令

则（2）

式（1）中右端的第二项为（3）

把式（2）和式（3）代入式（1），则有

定理得证[18]

定理二

证明：利用公式

有

令，则

当时，，因此

其中

最终运算证得[18]

连分数展开式

[0；1，1，2，1，2，1，4，3，13，5， 1， 1， 8， 1， 2，4，1，1，40， ...]（OEIS A002852）。[19]

渐近展开式

欧拉常数由此极限定义：

其中称为调和数。下面的渐近展开式成立：

或写成。此处的Bn表示伯努利数。[13][20]

已知位数

位数时间发现者51734年L. Euler151736年L. Euler191790年L. Mascheroni241809年J. von Soldner401812年F.B.G. Nicolai191825年A.M. Legendre341857年Lindman411861年Oettinger591869年W. Shanks1101871年W. Shanks2631878年J.C. Adams321887年T. J. Stieltjes???1952年J.W. Wrench12711962年D.E. Knuth35661962年D.W. Sweeney207001977年R.P. Brent301001980年R.P. Brent and E.M. McMillan1720001993年J. Borwein10000001997年T. Papanikolaou72862551998年12月X. Gourdon1080000001999年10月X. Gourdon and P. Demichel9702581582011年9月21日Eric Weisstein48513828412013年7月22日Eric Weisstein166952790102021年4月29日Syed Fahad

以上列表参考资料：[21][8]

相关计算

为了得到准确的欧拉常数的近似值，可利用欧拉-麦克劳林公式积分法进行计算，

现有

通过一系列的积分运算，则有

即得

所以

再代入

即得[10]

欧拉常数族

记

可以证明

其中的都是常数，其全体被称为欧拉常数族。[22]

中国数学家徐利治曾对有研究，他指出设，当充分大之后，的数值恒为正，而且有一正常数，使得

由这一结果可得[23][22]

1983年中国数学家孙燮华证得[24]

学者赵钧伟等人在论文《欧拉常数族新探》中指出，只要循环套用定理一；定理二若三阶可导，当时，单调趋于零。则此极限存在：；定理三设三阶可导，，当时单调趋于零，则此极限存在：

以及引理若记，则有（其中p为大于1的任意实数），即可把欧拉常数族中一切求得。[22]

广义欧拉常数族

定理：若是区间上单调减少且非负的连续函数，且反常积分为无穷大，则无穷大与同阶，即，其中为常数，称正常数集合为广义欧拉常数族，记作

该定理推广了欧拉常数的定义，以发散正项无穷级数减去相应的发散正项积分，从而得到了广义欧拉常数族的统一定义。由此定理可知

若，则

特别地，当时，

广义欧拉常数族的元素的性质，有如下定理：若函数为单调下降到零的非负连续函数，则：（1）数列单调递减趋于；数列单调递增趋于，并且。（2）令，则[25]

欧拉常数γ性质的简单推广

定理：当时，（的同阶无穷小），其中是欧拉常数

证明：设，则

其中

又有

因为，已知级数收敛，所以上述两个级数都收敛，且第二个级数的值不超过

这不仅证明了当时，收敛于一个常数，同时又证明了

于是

即[26]

证明调和级数发散

（1）

从上式可看出，同阶，并且差当时，趋向于欧拉常数，

因此，

当时，，故调和级数发散。[11]

此外，等式（1）不但可以证明调和级数发散，还进一步说明当时，，且，而他们的差则趋向有限的极限。[27]

数项级数求和

例如求

因为，且

所以由Leibniz 判别法知级数收敛。记其和为S，部分和为,

则

由于，

根据极限的性质（为一个极限为0的数列），将其代入上式，得

故[12]

定积分计算

例如计算积分，其中表示的小数部分

解：被积函数有界，且只有有限个间断点，而且这些间断点只有唯一极限点0，从而所给积分有意义，其计算如下：

利用欧拉常数，可以简化计算。[28]

用于极限计算

例如求极限

解：[28]

其他

欧拉常数还可以应用于求无穷乘积、函数项级数收敛域等领域，简化其计算和证明。[12]

参考资料 28

  1. 参考 1
  2. 欧拉常数与素数 — gridhoster
  3. 参考 3
  4. https://www.ams.org/journals/bull/2013-50-04/S0273-0979-2013-01423-X/S0273-0979-2013-01423-X.pdf
  5. 参考 5
  6. 参考 6
  7. 参考 7
  8. A002852 Continued fraction for Euler's constant (or Euler-Mascheroni constant) gamma. (Formerly M0097 N0034) — OEIS
  9. 参考 9
  10. 参考 10
  11. 参考 11
  12. 参考 12
  13. 参考 13
  14. 参考 14
  15. 参考 15
  16. 参考 16
  17. 参考 17
  18. 参考 18
  19. Euler-Mascheroni 常数连续分数 — Wolfram MathWorld
  20. 参考 20
  21. The Euler constant : r — Wolfram MathWorld
  22. 参考 22
  23. 参考 23
  24. 参考 24
  25. 参考 25
  26. 参考 26
  27. 参考 27
  28. 参考 28

注释

  1. 目前中外文献有1734和1735年两种说法，各有资料佐证，此处从参考资料[4]等的说法以1734年为准
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