伯努利数

伯努利数是18世纪瑞士数学家雅各布·伯努利引入的一个数学概念，是与数论有密切关联的有理数序列。伯努利数在数论、分析学和数值计算等领域中有广泛应用。

一般地,时，有;时，有公式可用来逐一计算伯努利数。伯努利数在数论中很有用。例如，对于佩尔方程（是素数），N.C.安克尼和E.阿廷曾猜想它的最小解 满足 ,1960年，L.J.莫德尔证明了在时,S.乔拉证明了在时，上述猜想等价于伯努利数的分子不被整除。伯努利数还可用于费马大定理的论证中。设 ，如果伯努利数的每一个分子不被整除，这样的素数叫正规素数，否则就叫非正规素数。

18世纪瑞士数学家雅各布第一·伯努利引入的一个数。设伯努利数为,其定义:这里。由计算知：,

一般地,时，有;时，有公式可用来逐一计算伯努利数。伯努利数在数论中很有用。

对于佩尔方程（ 呏shēng1(mod4)是素数），N.C.安克尼和E.阿廷曾猜想它的最小解满足 凲gān,1960年，L.J.莫德尔证明了在p呏5(mod8)时,S.乔拉证明了在 呏1(mod8)时，上述猜想等价于伯努利数的分子不被 整除。伯努利数还可用于费马大定理的论证中。设，如果伯努利数, ,…, 的每一个的分子不被p整除，这样的素数p叫正规素数，否则就叫非正规素数。

证明

德国数学家E.E.库默尔证明了：当为正规素数时，费马大定理成立。不难计算当时，除开以外，其余的素数都是正规素数。因此，在费马大定理的研究中，库默尔的结果是一项突破性的工作(见不定方程)。尽管有许多判别正规素数的法则，但是，是否有无穷多个正规素数，尚未解决。而非正规素数有无穷多个，早在1915年就被人们所证明。

伯努利数的可整除性与分圆域的理想类群有关，这关系由库默尔的定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理描述。冯·施陶特-克劳森定理给出了非零伯努利数分母的特征，这些分母是适合\( p - 1 \)整除\( n \)的所有质数\( p \)的乘积。吾乡-朱加猜想猜测质数\( p \)与伯努利数\( B_{p-1} \)的关系。伯努利数的p进连续性是一个特别重要的同余性质，与黎曼ζ函数的欧拉乘积公式有关。