有理数和无理数

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。

√2=p/q 由于2q^2是偶数，p

有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数，如都是有理数。

整数和通常所说的分数都是有理数。有理数还可以划分为正有理数、0和负有理数。

无理数指无限不循环小数，如：π。

无理数与有理数的区别：

1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如而无理数只能写成无限不循环小数，比如根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数。

2、所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明是无理数。

证明：假设不是无理数，而是有理数。

既然是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：

又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式。

把 两边平方

得

即

由于是偶数，p 必定为偶数，设

由

得

同理q必然也为偶数，设

既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设是有理数引起的。因此是无理数。