拉普拉斯算子

在数学以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（英语：Laplace operator, Laplacian）是一个微分算子，通常写成 Δ 或 ∇²；这是为了纪念皮埃尔-西蒙·拉普拉斯而命名的。拉普拉斯算子有许多用途，此外也是椭圆型算子中的一个重要例子。在物理中，常用于波方程的数学模型、热传导方程以及亥姆霍兹方程。在静电学中，拉普拉斯方程和泊松方程的应用随处可见。在量子力学中，其代表薛定谔方程式中的动能项。在数学中，经拉普拉斯算子运算为零的函数称为调和函数；拉普拉斯算子是霍奇理论的核心，并且是德拉姆上同调的结果。

拉普拉斯算子是维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（）的散度（）。因此如果是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：

的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi中的所有非混合二阶偏导数：

作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把函数映射到函数，对于。算子，或更一般地，定义了一个算子，对于任何开集。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹

另外,满足的函数f,称为调和函数.

其中与代表平面上的笛卡儿坐标：

另外极坐标的表示法为：

三维空间

笛卡儿坐标系下的表示法

圆柱坐标系下的表示法

球坐标系下的表示法

在参数方程为（其中以及）的维球坐标系中，拉普拉斯算子为：

其中是维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。

如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：f是径向函数f(r)且g是球谐函数，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。f(r)的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切.

球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数.

拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里德空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。

在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子。

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-高登方程以及四维波动方程。^[1]