微分方程所定义的积分曲线

《微分方程所定义的积分曲线》，作者是秦元勋，由科学出版社于1959年出版，描述的是直接从方程本身寻找答案，这时由方程决定的性质必然是定性的。这种思想与代数方程领域中阿贝尔、伽罗瓦由寻求根式解转到研究解的存在和性质的思想是平行发展的。施图姆-刘维尔理论可看作微分方程定性理论的早期萌芽。

瑞士-法国数学家施图姆（C.-F.Sturm）和法国数学家刘维尔（J.Liouville）由源于热传导和弦振动的数学物理问

题，开辟出特征值问题初值问题的研究领域。1836年，施图姆的论文从新的定性角度研究二阶线性微分方程。随后，他与刘维尔合作开创了分析中一个新的分支施图姆-刘维尔理论，其特征是：当找不到解的任何可行表达时，直接从方程本身寻找答案，这时由方程决定的性质必然是定性的。这种思想与代数方程领域中阿贝尔、伽罗瓦由寻求根式解转到研究解的存在和性质的思想是平行发展的。施图姆-刘维尔理论可看作微分方程定性理论的早期萌芽。

微分方程定义下的积分曲线与无切曲线的关系就类似于等式与不等式的关系。当解等式较难时，可以用不等式的解来界定等式的解。庞加莱没有直接确定积分曲线，而是利用无切环确定出极限环，从而获得微分方程解的基本性态。

法国科学院院士阿达玛（J.Hadamard）在《亨利·庞加莱的科学工作》一书中称无切环概念为“非积分”，以便与微分方程的“积分”相对比，正如不等式与等式的关系。“无切环”与“无切弧”等概念是庞加莱对实域定性理论引入的主要工具，是将等式转为不等式的研究、将分析工具转为几何工具的体现。

庞加莱将定性理论应用到微分方程解的研究中，引发了一系列理论研究的新变革、新突破，同时也使人们对定性思想的认识提升到了新的高度。

与恩里克斯研究思想的比较

定性理论诞生初期并未受到广泛的重视。人们对庞加莱的工作存在两种看法。一派认为他是一个彻头彻尾的“革新者”，大量引入几何方法，用定性分析代替定量分析，完全摒弃经典决定论，动摇了经典理论的根基。另一派则认为，他在广泛使用几何方法的同时，仍坚持以分析为研究基础，并没有放弃解的传统定量分析，定性研究和几何方法只不过是传统方法的扩充。

当时盛行的定性分析观点是意大利数学家恩里克斯（F.Enriques）晚于庞加莱几年提出的，即定性分析应当彻底取代19世纪数学与数学物理中特有的分析/定量思想，体现综合化的几何观念。

恩里克斯是意大利代数几何学派的主要代表人物，研究代数曲面理论，发展了代数几何方法，并发现了许多新的事实。

20世纪初，以相对论为代表的物理研究取得重大突破，经典物理根深蒂固的观念被彻底修正，自然科学研究进入了一个反思变革的新时期。在这一氛围下，恩里克斯的几何观念显得尤为新颖。他认为，几何应当从研究中分离出来，成为一个独立的系统，而且只有几何才能担当描述、解释力学和物理现象的角色，取代分析在数学中的传统地位，在当代科学综合化、定性化的过程中发挥主导作用。恩里克斯提出的几何与分析的和谐一致，实质仍是以几何为主导。这与庞加莱的分析为主、几何为辅的观点形成了鲜明的对立。

科普教育科学               医药工具书            天文学

http://www.kongfz.com/bookstore/9778/book_30516235.html