氢原子百科 
勾股数，又名毕氏三元数（Pythagorean triple），指能够构成直角三角形三条边的三个正整数。勾股数满足勾股定理，常见的勾股数有（3，4，5）（5，12，13）等。[3][4][2]
中国
勾股数与勾股定理在中国有着悠久的历史，中国古代将较短的直角边称为勾，较长直角边称为股，而斜边称为弦，故称指能够构成直角三角形三条边的三个正整数为“勾股数”。[1]
中国关于勾股数的最早记载为《周髀算经》的卷首中，西周开国时期的大夫商高在与周公对话时提到：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”[3]
中国关于普遍勾股定理的最早记载为《周稗算经》的第二卷中，陈子在与荣方对话时提到测日法：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，匀股各自成，并而开方除之。得邪至日，从髀所衰至日所十万里。”在陈子的时代，认为地是平的，太阳垂直照射于地，垂足叫日下点，观测点、日下点、太阳三点构成直角三角形中日高为股，日下为勾，则勾股平方和的开方为邪至日。[3]
西方
西方关于勾股数的最早记载为Plimpton 322泥板上的数，表明古巴比伦在公元前1700年已发现勾股定理。[2]
拜占庭学者Proclus（公元5世纪）在其数学史专著中指出 “ 希腊Rhodes岛的Eudemus（公元前4世纪）称Pythagoras学派发明此定理，所以勾股定理在西方被称为Pythagoras定理，因此勾股数别名“毕氏三元数”。[2]希腊哲学家Plato（公元前427一前347年）对此定理仅就其特殊情况作了图证 ”。[2]
西方对勾股定理的明文记载始见于Euclid (公元前330一前275年)《几何原本》，他利用图形分割、全等三角形以及面积关系等知识进行演绎推理。[7]
定义
常见勾股数
| 类型 | 勾股数 | 特征 |
|---|---|---|
| 20以内的勾股数 | （3，4，5） | 唯一连续的勾股数，最小的勾股数 俗称“勾三 股四 弦五” |
| （5，12，13） | - | |
| （6，8，10） | 唯一连续的偶数勾股数 | |
| （8，15，17） | - | |
| （9，12，15） | - | |
| 100以内的本原勾股数 （16组） | （3，4， 5）（5，12，13）（8，15，17）（7，24，25）（21，20，29）（35，12，37）（9，40，41）（45，28，53）（11，60，61）（33，56，65）（63，16，65）（55，48，73）（13，84，85）（77，36，85）（39，80，89）（65，72，97） | 三个数互质 |
基本公式
，，，其中
证明方法
假设，且
所以中必有一个偶数，不妨设，等式化为
为偶数，则同奇偶，作代换：，显然M，N为正整数
假设不成立，即存在质数，使得,
那么, 从而, 从而
这与矛盾，所以得证
根据算术基本定理：一个大于1的正整数n，如果它的标准分解式为，那么它的正因数个数为
，其中等均为偶数，等均为质数
如果对于某个，的因子为奇数个，则对应的因子必为奇数个
从而，，矛盾
则对于所有质因子,，即M，N都是平方数
则不妨设，从而有
解得，
应用
可以用于求解所有的基本勾股数，但无法得到所有的派生勾股数。
相关推论
通过同乘以任意整数的方法求得所有解：
其中，，m和n必须为一奇一偶，t为正整数
（参考资料）[3]
完全公式
，
当m为奇数时，k={1，的所有小于m的因子}
当m为偶数时，k={的所有小于m的偶数因子}
不同勾股数（a，b，c）的组数N等于k的可取值个数，可由算数基本定理求出
算数基本定理：一个大于1的正整数n，如果它的标准分解式为，那么它的正因数个数为
当m为奇数时，
当m为偶数时，
其中，为互不相同的奇素数，为幂指数。
应用
求出基本勾股数与派生勾股数，以及勾股数的组数。
举例
当m为偶数432时，k={的所有小于432的偶数因子}= {2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}
将及24组不同k值分别代入，求得b、c
即得直角边时的基本勾股数与派生勾股数。
（参考资料）[3]
公式
举例
n=1时
n=2时
n=3时
…以此类推
特点
此外由于两个连续自然数必然互质，则此方法得到的勾股数组全部是互质的
公式
当a为大于4的偶数2n时，，即把a的一半的平方分别减1和加1
举例
n=3时
n=4时
n=5时
…以此类推
特点
此外当n为奇数时，由于(a,b,c)是三个偶数，得到的勾股数组必然不是互质的；
当n为偶数时，由于b、c是两个连续奇数必然互质，得到的勾股数组互质。
推广
若想得到互质的数组，求解方法为：对于 (),，例如：
n=2时
n=3时
n=4时
…以此类推
（参考资料）[8]