伽玛函数

伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数（Beta function），也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

伽玛函数（Gamma Function）作为阶乘的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成。

（1）在实数域上伽玛函数定义为：（2）在复数域上伽玛函数定义为：其中，此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。

（3）除了以上定义之外，伽马函数公式还有另外一个写法：

我们都知道 是一个常用积分结果，公式（3）可以用 来验证。

（4）伽马函数还可以定义为无穷乘积：

不完全gamma函数

详见不完全伽马函数

1728年，克里斯蒂安·哥德巴赫（1690—1764）在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16.....可以用通项公式n²自然的表达，即便 n 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,...,我们可以计算,是否可以计算呢？我们把最初的一些的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼尔·伯努利，由于欧拉当时和丹尼尔·伯努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美地解决了这个问题，由此导致了伽玛 函数的诞生，当时欧拉只有22岁。^[1]

1、通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质：

于是很容易证明，伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，对于正整数n，具有如下性质：

2、与贝塔函数的关系：3、在概率的研究中有一个重要的分布叫做 伽玛分布：

其中。

4、对，有

这个公式称为 余元公式。

由此可以推出以下重要的概率公式：

5、对于，伽马函数是严格凹函数。

6、伽马函数是亚纯函数，在复平面上，除了零和负整数点以外，它全部解析，而伽马函数在 处的留数为

Gamma 函数从它诞生开始就被许多数学家进行研究，包括高斯、勒让德、魏尔斯特拉斯、刘维尔等等。这个函数在现代数学分析中被深入研究，在概率论中也是无处不在，很多统计分布都和这个函数相关。Gamma 函数作为阶乘的推广，首先它也有和 Stirling 公式类似的一个结论：即当x取的数越大，Gamma 函数就越趋向于 Stirling 公式，所以当x足够大时，可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值。

伽玛函数的对数的导数称为Digamma函数，记为

Digamma函数同调和级数相关，其中

其中

是欧拉常数。

而对于任意x有

在复数范围内，Digamma函数可以写成

而Digamma函数的泰勒展开式为

其中函数为黎曼zeta函数，是关于黎曼猜想的一个重要函数。

类似伽玛函数，Digamma函数可以有渐进式：

在Matlab中的应用

其表示N在到0范围内的整数阶乘。

公式为：

例如：

对伽马函数的推导维度如图所示：