乘法表

乘法表是用于定义代数系统的乘法运算的数学表。^[6]

清华大学的清华简《算表》^[2]是世界上最早的十进位乘法表文物。^[7][8][9]巴比伦算术有进位制，比希腊等几个国家有很大的进步。不过巴比伦算术采用60进位制，原则上一个“59x59”乘法表需要59*60/2=1770项；由于“59x59”乘法表太庞大，巴比伦人从来不用类似于九九表的“乘法表”。考古学家也从来没有发现类似于九九表的“59x59”乘法表。古玛雅人用20进位制，跟现代世界通用的十进位制最接近。一个19x19乘法表有190项，比九九表的45项虽然大三倍多，但比巴比伦方法还是简便得多。可是考古学家至今还没有发现任何玛雅乘法表。中国春秋战国时代不但发明了十进位制，还发明九九表。后来东传入高丽、日本，经过丝绸之路西传印度、波斯，继而流行全世界。十进位制和九九表是古代中国对世界文化的一项重要的贡献。^[1]

与乘法表相关的还有凯莱表，凯莱表这个词来源于19世纪英国数学家阿瑟·凯莱，它把一群里所有元素的一切可能的乘积都安排在一个方块上，使人们联想到一张加法或乘法表。^[10]

十进制乘法表传统上是世界各地初等算术的重要组成部分，因为它为以十为基数的算术运算奠定了基础。许多教育工作者认为有必要记住9 × 9的表格。^[11]

乘法表的运用主要是在三角形数，平方数，分裂方格，平方的平方数中体现，从中我们会发现乘法表不仅仅是一种记忆乘法表的设备。^[12]

九九诀源出筹算，而《周易》筮shì法与筹算又极为相似高亨、三上义夫等学者甚至认为《周易》的阴阳爻符号原本就是算筹的图像) 。^[4][13] 所以，基于《周易》象数与数学的复杂关系，古人将二者互相比附，实在不足为奇。《管子》：“宓戏（即伏羲） 作造六以迎阴阳；作九九之数以合天道 。” 《九章算术注》^[3]：“昔包牺氏( 即伏羲) 始画八卦，以通神明之德，以类万物之情；作九九之数，以合六爻之变。”

已知最古老的乘法表是由巴比伦人在大约4000年前使用的。^[14]然而，他们使用了60的基数。^[14]已知最古老的以10为基数的表是中国的十进位乘法表，大约可以追溯到公元前305年，在中国战国时期。^[14]公元493年，阿基坦的维多利亚写了一个98列的乘法表，它给出了（罗马数字）从2到50次的每个数字的乘积，行是“一个数字列表，从1000开始，下降到100，然后下降到10，然后下降到1，然后分数下降到1/144。^[15]数学家约翰·莱斯利（John Leslie）在他1820年出版的《算术哲学》一书中，发表了一个高达99 × 99的乘法表，它允许数字一次以数字对相乘。^[16]

清华大学所藏的战国竹简《算表》，在2017年经吉尼斯世界纪录独立核实认证，是目前发现的人类最早的十进制计算工具。^[7]

《张邱建算经》^[5]亦重视分数的运算，所用的约分通分以及加减乘除各种方法均与今天的方法相 同 。^[17]

秦简九九表的数理内涵：乘法交换律运用的最早物证——秦简九九当属所谓“ 小九九”， 因为表中有“ 八九七十 二” 而无“九八七十二” ；有“ 三七二十一” 而无“ 七三二十一” ( 余句准此) 。 结合《管子》《战国策》《荀子》等传世古文献所引九九口诀亦全属“ 小九九” 的事实，我们推断：最迟不晚于春秋战国时代，中国人就已经掌握了乘法交换律。不言而喻， 里耶秦简九九表为这一推论提供了最早的实物证明。^[13]

钱宝琮《中国数学史》：“ 现在的乘法口诀是从`一一如 一' 起到`九九八十一' 止， 共四十五句。古代的乘法口诀是 从`九九八十一' 起到`二二如四' 止( 缺少`一九如九' 、`一 八如八' 等九句) ， 只有三十六句。” 长期以来， 此说似已成数学史界共识， 迄今未见异议。但是，里耶秦简九九表的出土，却动摇了这一结论：秦简九九表既不是45句，也不是36句，而是38句。这种38句的九九表， 学者们确实未尝梦见。王国维考释敦煌汉简，之所以与手中38句的九九表失之交臂，殆dài亦以此。^[13]

基于以上说明：先秦九九表中确乎没有 “ 一九如九” “一八如八” 到“一二如二” “ 一一如一” 等九句乘法口诀。前人之述未备，兹略抒管见如下。自然数乘法有两种定义法，一种以集合为基础概念， 另一种以加法为基础概念。定义( A）：设有b个没有公共元素的等价集合，它们的基数都是a，它们的并集c的基数为c，那么c叫做a与b的积。求两个数积的运算叫做乘法。^[13]

乘法口诀是中国古代筹算中的基本计算规则，春秋战国时代发明了九九表。后来东传入高丽、日本，经过丝绸之路西传印度、波斯，继而流行全世界。^[18]在浙江首次发现、出土的大批汉代书迹——乌程汉简正式启动出版工作，这项成果于2022年9月问世。人们从片片简牍dú的字里行间，洞悉两千多年前的百态世间，与古人进行一场“超越时空的对话”。^[19]

由于秦汉时期的数学史料极其稀缺，每一次考古发现涉及数学的部分，都值得深入研究，以丰富我们对早期数学的了解。但其他一些涉及数学内容的竹简，仅记载零星的数学资料，如清华大学所藏战国竹简中有记载乘法运算的《算表》1，2002年发现的里耶秦简中也有“九九乘法口诀”的部分。^[20]

这是浙江第一次大规模出土的简牍类材料，弥足珍贵。这批木简数量众多、品类丰富，无论从时间跨度还是简牍内容上看，都十分罕见。”在近期一次专题学术研讨会上，一位与会专家充分肯定了乌程汉简的史料价值。由于南方气候潮湿，木质简牍等文物难以保存，乌程汉简也正是因为深埋于地下、隔绝氧气，才得以保存至今。^[19]

古埃及没有乘法表，考古学家发现古埃及人是通过累次迭加来计算乘积的。例如计算5×18，先将18+18=36，再迭加36+36=72，然后再加上18得90。在距今3000多年前的古巴比伦，采用的是60进位制，原则上一个“59×59”乘法表需要59×60÷2=1770项，太过于庞大，因而，考古学家也从来没发现类似于“九九表”的“59×59”乘法表。古玛雅人发明过20进位制，与现代世界通用的中国古人发明的十进位制最接近。一个19×19乘法表也要190项，可是，考古学家至今也未发现任何玛雅乘法表。^[1]

由于古巴比伦有着先进的灌溉系统，他们的农业也非常发达。吃不完的农产品常常用来向周边的国家放贷，他们的数学就在放贷中发展起来。因为要计算利息，所以相较加减法，他们更重视对乘法的应用，比如要计算34x7，他们创造性地使用了30x7再加上4x7的方法，这就是后来的乘法分配律;而对于加法，古巴比伦甚至没有记号表示。为了利用乘法分配律快速算出乘法，古巴比伦甚至编写了1x1到60x60的乘法表。^[21]

看到这里，有的人会有疑问:我们背诵的乘法表到 9x9为止，为什么古巴比伦要费力地编写到60，实际上，古巴比伦采用的是六十进位。我们常用的十进制，一旦数到了9，再加1就需要进一位，变成10。而古巴比伦用一个符号写到59后，再加上1才能进一位变成两个符号。另外，古巴比伦人在计时上先进于其他国家，所以我们现在使用的时间也是采用六十进制--每六十秒为一分钟，每六十分为一小时，角度也是如此，每一度角可以分为六十分。数表的泥板，他们乘法计算的普及程度可见一斑。^[21]

古玛雅人发明过20进位制，与现代世界通用的中国古人发明的十进位制最接近。一个19×19乘法表也要190项，可是，考古学家至今也未发现任何玛雅乘法表。^[1]

在古代西方文明中，玛雅人的算术最为发达，他们采用的是20进位，但是他们并没有创造出乘法表。很显然，从进位系统到乘法系统是一种巨大的进步。^[1]

九九表的内容编排可分为小九九和大小九九并用的两大类，既有相似之处，也有其各自的特点：汉文写本用小九九，乘数由低到高，大九九和小九九合用，而大九九之乘数、小九九之被乘数由高到低排列。^[22]

对于三十二元数单元乘法表来说：

如果两个数都能表成16个平方数之和，那么这两个数的乘积也可以表成16个平方数之和。

如果两个数都能表成8个平方数之和，那么这两个数的乘积也可以表成8个平方数之和。

很显然同超复数乘法表一样，此定理可一般地叙述为：如果两个数都能表成 个平方数之和 ，那么这两个数的积也可以表成个平方数之和。^[23]

系统的对称性质由对称变换的集合来描写。我们先来研究系统对称变换集合的共同性质。按照物理中的惯例，两个变换的乘积RS定义为先做s变换，再做R变换。显然，相继做两次对称变换仍是系统的对称变换，三个对称变换的乘积满足结合律。不变的变换称为恒等变换E，它也是一个对称变换，并与任何一个对称变换R的乘积仍是该变换R。对称变换的逆变换也是系统的一个对称变换。上述性质是系统对称变换集合的共同性质，与系统的具体性质无关。把对称变换集合的这些共同性质归纳出来，得到群(group)的定义：^[24]

定义 ：在规定了元素的“乘积”法则后，元素的集合G如果满足下面四个条件，则称为群。^[24]

(1)集合对乘积的封闭性。集合中任意两元素的乘积仍属此集合：

(2)乘积满足结合律:

(3)集合中存在恒元E，用它左乘集合中的任意元素，保持该元素不变:

(4)任何元素R的逆存在于集合中，满足:

对于有限群，群元素数目有限，因此有可能把元素的乘积全部排列出来，构成一个表，称为群的乘法表(multiplication table)，简称群表。为了确定起见，对于RS= T，今后称R为左乘元素，S为右乘元素，而T为乘积元素。乘法表由下法建立:在表的最左面一列，把全部群元素列出来，作为左乘元素，在表的最上面一行，也把全部群元素列出来，作为右乘元素，元素的排列次序可以任意选定，但常让左乘元素和右乘元素的排列次序相同，恒元排在第一位。表的内容有gxg格，每一格填入它所在行最左面一列的元素R(左乘元素)和它所在列最上面一行的元素S（右乘元素）的乘积RS。因为恒元与任何元素相乘还是该元素，如果把恒元排在表中第一个位置，则乘法表内容中第一行和右乘元素相同，第一列和左乘元素相同。由重排定理，乘法表乘积元素中每一行（列）都不会有重复元素。乘法表完全描写了有限群的性质。^[24]

在中国，因为整数乘法是可交换的，许多学校使用如下的较小的表。有些学校甚至删除了第一列，因为1是乘法恒等式。

传统的乘法死记硬背学习是基于对表中列的记忆，其形式如下：

1 × 10 = 10   

 2 × 10 = 20    

3 × 10 = 30   

 4 × 10 = 40    

5 × 10 = 50   

 6 × 10 = 60    

7 × 10 = 70    

8 × 10 = 80   

 9 × 10 = 90

这个词来源于19世纪英国数学家阿瑟·凯莱，它把一群里所有元素的一切可能的乘积都安排在一个方块上，使人们联想到一张加法或乘法表。群的许多特性，例如是不是一个阿贝尔群，哪些元素是反元素，哪些元素是这个群的反元素，以及这个群的中心是什么，这些特性都很容易从凯莱的表格中找出来。^[10]下面是有限域Z 5 的加法和乘法表：

乘法口诀表是按递增规律整理的。

1、首位相同，两尾数和等于10的两位数相乘方法： 十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积，没有十位用0补。

2、首位相同，尾数和不等于10的两位数相乘方法：两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积， 满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

3、被乘数首尾相同，乘数首尾和是10的两位数相乘方法：乘数首位加，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。

4、被乘数首尾和是10，乘数首尾相同的两位数相乘方法：与帮助6的方法相似。两首位相乘的积加上乘数的个位数，得数作为前积，两尾数相乘，得数作为后积，没有十位补0。^[6]

定义( A）：设有 b 个没有公共元素的等价集合 … ， 它们的基数都是a， 它们的并集c的基数为c， 那么c叫做a与b的积。求两个数积的运算叫做乘法。 定义( B）：b个相同加数a的和c叫做a与b的积。求两个数积的运算叫做乘法。

根据定义( B）， 乘数最小应是2 。所以，遇到乘数是1或者0的情况，就不能说求1个或0个加数的和。因此，需要对( B）补充定义： ( 1） 当乘数是1时，a×1 =a ( 2） 当乘数是0时，a×0 =0。^[13]

三角形数是一种数字，他可以用一组点构成的图案表示，这些点排列在一个等边三角形中，每边有相同数量、间距相同的点。

第一个三角形数是1，第二个是1+2=3，第三个是1+2+3=6，第四个是1+2+3+4=10，以此类推。通常，第n个三角形数Tn是从第一个数1到n的和：

首先，看一下乘法表，其中3的倍数对应的方格是蓝色的。（我们忽略了蓝色是2的倍数的乘法表，因为数学家们认为它是平庸的（trivial）：没有什么意思）。乘法表中3的倍数涂成蓝色之后的第一个白色方块是这样的：

把这个白色正方形里的数字加起来得到：

9不是一个三角形数，但它是一个三角形数的平方。准确地说，它是第二个三角形数T2的平方。

将乘法表中4的倍数对应小方格涂成蓝色之后得到的第一个白色正方形：

把这个正方形里的数字(包括中间蓝色小方格里的数字)加起来得到结果：

在这种情况下，和等于第三个三角形数的平方。

把任意一个k的倍数涂成蓝色，看是否都是这样，如果是，那么将乘法表中k的倍数涂成蓝色之后围成的第一个正方形内所有数字求和之后，便能求得第k-1个三角形数Tk−1。

乘法表中，我们会看到第一行方块的组成数字是：

第二行由这些数字乘以2：

第三行由第一行中的数字乘以3：

以这种方式一行接一行地继续下去，直到正方形的最后一行：将第一行的数字乘以(k-1)：

再把这些行中的数字相加，提出(1+2+3+…+k-1)，式子变成：

如上所述：

因此，证明了第一个大正方形内所有数字之和Tk−12等于第k-1个三角形数的平方。^[12]

乘法表主对角线（从西北角到东南角）上显然是平方数——整数的二次方。^[12]

乘法表中不仅可以找到三角形数，还可以找到平方数。乘法表中将数字k的倍数填充为蓝色，由这些蓝色方格所包围的正方形中数字之和与一个三角形数有关。方格中数的和等于 (2m−1)(2n−1)Tk−12 ，其中m和n分别表示从顶部和左侧算起的方格数目，Tk−1是第k-1个三角形数。^[12]

主对角线(从西北角到东南角)上蓝色倍数所包围的正方形格之和也是平方数。从原始求和公式出发能够很容易地证明这一点，因为垂直和水平的位置是相同的，我们在公式中只使用m：^[12]

如果深入研究乘法表中其他不同尺寸和位置的方格结构，可以找到更多的平方数。基于主对角线的方形格子似乎总能产生平方数，而这个平方数与所选方格共有的列指标与行指标之和密切相关。^[12]

由第2行第2列的单个方格（橘色部分）得到平方数22=4；第3、4行与第3、4列交叠处有四个方格（红色），将四个方格中的数字加在一起得到 （3+4）2=49 ；而第5、6、7行与第5、6、7列交叠出有九个方格（绿色），将这九个方格的数字加在一起得到 （5+6+7）2=324 。^[12]

当一个方格由非连续的行和列相交产生时，这似乎也成立。如果取第1、4、8行与第1、4、8列的交点，则（分立的）方格的中数字之和是： (1+4+8)2=169 。^[12]

对于乘法表中三个整数a、b、c定义的方格，可以通过数学运算得出对这三个数都适用的公式。在上面的例子中，方格中的数字之和是：^[12]

更一般的有：^[12]

基于这一知识，可以发现一些特殊的模式。看看以连续奇数为行指标和列指标对应的行，会很快发现连续奇数（从1开始）的和等于一个平方数。^[12]

因为连续奇数的和是一个平方数，那么连续奇数对应的行/列指标的和就是一个平方数。那么行/列指标的和的平方将是一个平方数的平方：即一个数字的四次方。因此，可以用这种特殊的格阵形式从乘法表中得到4次方的正整数。^[12]

可以使用结论，一个立方数(一个数的3次方)可以写成一个连续奇数的和。例如，13=1，23=8=3+5，和33=27=7+9+11 。因此，如果选择的是这些连续的奇数行和奇数列的交点的方形格，这些方形格中数字的和将是一个立方数的平方，也就是一个数的6次方。下面的绿色方块是第3、5行与第3、5列的交点，它们的和是 (3+5)2=(23)2=26 。黄色方块是第7、9、11行与第7、9、11列的交点，它们的和是 (7+9+11)2=(33)2=36。^[12]