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中线定理（Apollonius's Theorem[1][2]），又称阿波罗尼斯定理、巴布斯定理、重心定理，是欧氏几何中的一个定理。[3][4][5]该定理的内容是三角形一条边上的中线两侧所对边平方和等于底边一半的平方与该边中线平方的和的两倍[3]。设的边长，边上的中线，则中线定理可以用公式表示为：，即。[6]
中线定理是由古希腊数学家兼天文学家阿波罗尼[4][注1]（Apollonius，约公元前262~190年）首先发现[8]。中线定理即为斯图尔特定理在中点时的结论，可由斯图尔特定理直接得出。
中线定理揭示了三角形的三条边长与中线之间的关系，在几何证题中具有较广的应用。[5]
简史
阿波罗尼斯是古希腊数学家。他与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大学派前期三大数学家。[9]中线定理是由阿波罗尼斯提出的。[10]
1746年，英国爱丁堡大学数学教授斯图尔特提出斯图尔特定理，即如果点把的边内分成，则。[4]在该定理中，当，则为的中点，结论就是中线定理。[4]斯图尔特定理的第一个已知的证明是西姆松在1751年发表的。[11]
定理内容
所谓中线定理，又叫阿波罗尼斯定理、巴布斯定理，[4]其内容为三角形一条边上的中线两侧所对边平方和等于底边一半的平方与该边中线平方的和的两倍。[3]
如图1，设的边的中点为，则。[4]
中线定理也可以表述为以表示的三条边长，以表示上的中线，则三角形的边与中线有以下关系:
，，。[5]
余弦定理法
证明:设，则在和中运用余弦定理得，
，
两式相加得[10]
勾股定理法
解析法
向量法
如图4，因为所以得
(这个式子记为（1）式)，(这个式子记为（2）式)
又因为为的中点，所以，（1）式与（2）式相加得
。[13]
定理应用
中线定理揭示了三角形中三边与主要线段间的重要关系，在几何证题中具有较广的应用。[5]
例1 已知为矩形内任一点，求证：。
证明： 如图5，连接交于，连接。由中线定理有
，
由 ，可知结论成立。[9]
例2 设是内一条弦，且与直径平行 ，为上一点。求证：。
证明 如图6，过作于，则，连接。又，在中，由中线定理有 ，而
结论得证。[9]
中点推广为任意点
设为中边上的点，则。[9]
证明：因为，，由两式消去项，得
。
显然，当时，上述结论即为中线定理。当共线时，结论也成立。[9]
三角形向四边形推广
若为四边形的边上的点，且，设与的夹角为，则有
证明：如图7，连接，过作交于。连接，则，
结论得证。[9]
| 条件 | 的值 | 解释 | 图形 |
|---|---|---|---|
| 任意四边形中点连线长公式 |  | ||
| 三角形中位线 |  | ||
| 梯形两条对角线中点两线的长 |  |
参考资料[9]
泰利斯定理的逆定理设
根据中线定理的边的中点为，则。[4]
如果是直角，应用毕达哥拉斯定理，此式左端，由此，从这两个式子可得。从而可知，直角三角形的斜边上的中点到三顶点等距。这是泰利斯定理的逆定理。[4]
毕达哥拉斯定理
若知道直角三角形的斜边上的中点到三顶点等距，因为，根据中线定理，得，这实际上就是毕达哥拉斯定理。[4][注2]
斯图尔特定理
参考资料 13
- 参考 1
- 参考 2
- http://qikan.cqvip.com/Qikan/Article/Detail?id=00002FCJL9907JP0MNDG9JP1M7R
- 参考 4
- 参考 5
- http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-JYXJ201503008.htm
- 参考 7
- http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZDSX199501003.htm
- 参考 9
- 参考 10
- 参考 11
- 参考 12
- 参考 13
注释
- Apollonius 也翻译为阿波罗尼奥斯[7]
- 毕达哥拉斯定理就是勾股定理