一元一次方程

一元一次方程是指只含有一个次数为1的未知数，并且含未知数项的系数不是零的整式方程。常用ax+b＝0或ax＝b（a≠0）来表示^[1]。例如a＝1，b＝2，则方程为x+2＝0。^[1]

一元一次方程的历史可以追溯到3000多年前古埃及的莱茵德纸草书，草书中古埃及大祭司用假设法来解此类问题。后代数学家例如花拉子米（Al - Khwarizmi）、婆什迦罗（Bhaskara）、斐波那契（Fibonacci）、程大位等等均用假设法来解方程。直到韦达将符号代数系统化，一元一次方程的解法摆脱了语言描述^[9]。1859年，李善兰将此类代数问题命名为一元一次方程。^[10]一元一次方程属于线性代数中的线性方程，形式有多种，例如字母方程、分式方程等等^[11][12][13]。其解法一般可以归类为3种，一般方法、公式法和图像法。^[1]

一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。^[14]也可以解决化学物理中的公式计算，例如压强公式、焦耳公式等等^[15][16]。

一元一次方程：只含有一个次数为1的未知数，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程，例如（a≠0）。^[5][1][17]

通过等式性质化简而成为一元一次方程的整式方程也属于一元一次方程，例如（a-c≠0）。^[5][1][17]

基本条件

条件一：它是一个等式；^[5][17][1]

条件二：等式中只含有一个未知数；^[5][17][1]

条件三：等式中未知数的最高次数为1；^[17][5][1]

条件四：等式中未知数的一次项系数不能为0。^[5][1][17]

在初级代数与解析几何中，线性函数是只拥有一个变量的一阶多项式函数，又或者是常数函数。在直角坐标系中，线性函数的图象呈直线，例如。当一次函数的值为0时，其对应的的坐标即为一元一次方程的解。^[18]

线性方程也称一次方程式。指未知数都是一次的方程。其一般的形式是。线性方程的本质是等式两边乘以任何相同的非零数，方程的本质都不受影响。一元一次方程就是以一般一元线性方程。^[11]

3000多年前的古埃及的珍贵文献莱因德纸草书，相传它是阿梅斯抄写，其中有一个用象形文字书写的方程题目:经埃森洛克破译，题意为:“有一堆，其三分之二，其一半，其七分之一及其全部，共为三十七.求一堆之数”。用现代的写法可以表示为：^[19]。公元1世纪左右，中国《九章算术》提出负数和移项的概念，使方程实现了化简变形^[20]。9世纪时，阿拉伯数学家花拉子米在《对消与还原》中给出了解方程的简单可行的基本方法，即“还原”和“对消”^[21]。12世纪，印度数学家婆什迦罗在《丽拉沃蒂》一书中用假设法（设未知数）来解决一类一元一次方程。由于所假设的数可以是任意正数，婆什迦罗称上述方法为“任意数算法”^[22]。13世纪，中国的盈不足术传入欧洲，意大利数学家斐波那契在《计算之书》中利用单假设和双假设法来解一元一次方程^[23]。16世纪时，韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题，也创立了这一概念，被尊称为“现代数学之父”。但是韦达没有接受负数^[3]。18世纪时，数学家欧拉在《代数基础》中讨论了各类一元一次方程的解法^[24]。1859年，中国数学兼翻译家李善兰在《代数学》中将此类线性方程翻译为“一元一次方程”^[4]。

在方程两边分别同时加或减同一个数或同一个代数整式，该方程不变，是为同解方程^[25]。

在方程两边分别同时乘或除同一个数（不为0)，该方程不变，是为同解方程^[25]。

关于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）可以通过一次函数f（x)＝ax+b来表示。一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的根就是它所对应的一次函数f（x)＝ax+b函数值为0时，自变量x的值。即一次函数图象与x轴交点的横坐标。^[26]例如当a＝3，b＝3，则f（x）的图像为下图

1.在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少 km。^[27]

2.当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。^[27]

3.当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。^[27]

在两个一次函数表达式中：

当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；

当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；

当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；

当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；

当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。^[27]

1.方程的各项可以在改变符号以后，由方程的一边移向另一边。^[28]

2.方程的边有相同的项时，可以相消。^[28]

3.方程的两边如有公约数，可以约去。^[29]

4.方程可以去掉分母内不含有未知数的各分数的分母。^[29]

一般解方程顺序^[30]

去分母（用最简公分母乘方程两边所有的项）^[30]去括号（括号前是负号时，括号内各项都变号）^[30]移项（要变号）^[30]并项^[30]系数化为1（两边同除以未知数的系数）^[30]

例如，取何值。^[30]

解：由题可知

（去分母）

（移项）

（并项）

（除于29系数化为1）

推导过程^[31][32]

（方程两边除于未知数的系数a）

（移项）

（整理）

举例：^[33]

（移项）^[33]

（方程两边除于未知数的系数3）^[33]

（整理）^[33]

^[33]

关于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）可以通过做出一次函数f（x)＝ax+b来解决。一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的根就是它所对应的一次函数f（x)＝ax+b函数值为0时，自变量x的值。即一次函数图象与x轴交点的横坐标。^[26]

举例：3x+3＝0，求x的值^[26]

设f（x)＝3x+3 必经过（0，3），（-1，0）两点。则f（x）图表为^[26]

如图得知当f（x）＝0时，x＝-1^[1]

所以3x+3＝0 的解为x＝-1^[1]

方程中的已知数用字母表示叫做字母方程^[12]

例如：y+y/a＝b^[12]

ay+y＝ab^[12]

（a+1）y＝ab^[12]

y＝（a+1）/ab^[12]

含有分式，并且分式的分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。解分式方程，应得先将方程化成整式方程。用含有未知数的代数式去乘方程的两边，得出的解应带入原方程检验，防止增根。（乘值等于0为增根现象，需舍掉）^[13]

例如：6/（x+2）-（x+2）/（x-2）+x²/（x²-4）＝0^[13]

去分式（用x²-4即（x+2）（x-2）乘方程的两边），^[13]

6（x-2）-（x+2）²+x²＝0，^[13]

去括号，6x-12-x²-4x-4+x²＝0，^[13]

2x＝16，^[13]

x＝8。^[13]

经检验当x＝8时，x²-4＝64-4＝60≠0 。^[13]

∴x＝8 为方程的根。^[13]

在物理学中有很多的公式也是可以直接或者间接看作一元一次方程，例如密度公式 ρ ＝ ｍ/ Ｖ，比热容的定义公式 ｃ ＝ Ｑ/ｍΔｔ等等。而在真正的物理问题中，一个变量随着一个变量变化的例子有很多。例如匀速直线运动的 ｓ ＝ ｖ·ｔ，路程随着时间的变化而做均匀变化；一定弹性限度内的弹簧，弹簧长度随着拉力的增大而不断增加。^[7]如已知里程为100km，速度为50km/h，求到达目的地所需的时间。可设时间为t，t＝s/v＝100/50＝2h，即可得知所需时间为2h。

如在生产生活中，通过已知一定的液体密度和压强，通过公式代入解方程，进而计算液体深度的问题。计算大气压强约等于多高的水柱产生的压强，已知大气压约为100000帕斯卡，水的密度约等于1000千克每立方米，g约等于10米每二次方秒（10牛每千克），则可设水柱高度为h米，列方程得1000*10h=100000，解得h=10，即可得知大气压强约等于10米的水柱所产生的压强。^[8]

大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。”^[34]

该问题可用一元一次方程解决，解法如下：

解法：设鸡有x只，兔有35-x只。

由题意得：

解得：x=23。

兔的数量 35-x=12。

答：鸡有23只，兔有12只。

希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：丢番图长眠于此，他的目标多么令人惊讶，它忠实地记录了他生命的轨迹；上帝给予的垂髫tiáo时光占六分之一，又过了十二分之一，髯rán须渐渐长出，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后弄璋之喜，儿子诞生。可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。终于告别数学，离开了人世。

根据以上信息，算出：（1）丢番图的寿命；（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；（3）儿子死时丢番图的年龄。

解法：设丢番图的寿命x岁；

则

解的

丢番图开始当爸爸时的年龄：

儿子死时丢番图的年龄：84-4＝80^[35]

《九章算术》中所有的一元问题都是通过算术方法求解的，其中最重要的方法就是“盈不足术” 。在盈不足章中有题为“今有共货物，人出八，盈三。人出七，不足四。问：人货各几何”假设有x人，货物为8x-3。则8x-3＝7x+4。解得x＝7 货物为53。^[36]