空集

空集（英文：empty set）是指不含任何元素的集合^[注1]，符号为Ø（Ø为丹麦文字母）。^[1][10][11]

莱布尼茨（英文：Gottfried Wilhelm Leibniz）在提出单子论时，区分了整体统一体，并将如初始概念、单子、空集和单元集等称为统一体。^[12]1854年，乔治·布尔（英文：George Boole）提出了空类（也称空集）的概念。^[4]1873年，康托尔（英文：Cantor）提出集合论。^[2]为解决第三次数学危机，1908年德国数学家策梅罗（Zermelo）创建了第一个集合论的公理体系，其中就包括空集公理。^[13][3]1922年德国数学家弗兰克尔（Fraenkel）对以上公理进行改进，提出了“ZF公理”，空集公理被继承保留。^[14]

空集通常具有四个性质：空集是任意集合的子集；空集的子集是空集；对全集的补集是空集；空集是唯一的。^[8][9]集合的交运算、并运算、补运算等也适用于空集的运算。^[15][16]与空集相关的概念有正则集、不相交的集合、集合的直和等。^[8]空集也可以推广至空间集合论中。^[17]空集在计算机科学^[5]、逻辑学^[6]和地理学^[7]等领域中有广泛应用。如布尔用1表示全总集，用0表示空集，并将数的加法乘法运用于逻辑运算。^[18]

不含任何元素的集合叫空集，符号为(为丹麦文字母）。对于任意集合，都有，即空集是任何集合的子集。^[10][1]

存在一个不包含任何元素的集合，即存在一个集合，使得对于任何的^[1]

集合的概念起源最早可以追溯到古希腊的原子论学派，他们将直线看作一些原子的排列。^[2]莱布尼茨在提出单子论时，区分了整体统一体，并将如初始概念、单子、空集和单元集等称为统一体。^[12]1854年，布尔在《思维规律的研究：逻辑与概率数学理论的基础》中提出了空类（也称空集）的概念，空类中没有任何事物，用数字0——正在讨论的事物的0%——表示。^[4]

1873年，康托尔证明了实数集是不可数的，并在1874年发表了包括对角线方法的论文《论所有实代数数Z的一个性质》。^[2]1903年，英国数学家罗素（Russell）提出的悖论直指朴素集合论，引发了数学危机，直到1908年德国数学家策梅罗（Zermelo）创建了第一个集合论的公理体系，其中就包括空集公理。^[13][3]1922年德国数学家弗兰克尔（Fraenkel）对以上公理进行改进，提出了“ZF公理”，空集公理被继承保留。^[14]

空集具有如下性质：

对于任何集,若则对全集有和对任何集合^[8]空集是唯一的。^[9]

集合具有交运算、并运算、补运算等运算，空集在集合的运算中具有特殊意义。^[15]

对于任意集合，.^[8]

对于任意集合，.^[15]

对于全集，.^[19]

对于任意集合，有^[19]

对于任意集合有，^[15][19]

对于任意集合，.^[19]

集合（set）简称集，是一个不加定义的原始概念。集合是将一些对象放在一起作为一个整体来考虑，组成集合的对象称为这个集合的元素或简称元。若是集合的元素，则称属于，记为。若不是的元素，记为（也可以用表示）。当某一集合的元素为...时，可写，称集合有元素（对象）...聚合而成。^[11][2]

子集（subset），集合论的基本概念之一。指两个具有包含关系的集合中的被包含者。对于集合与，若中的每个元素都是的元素，则称是的子集，记为或。读作“含于”或“包含”。是的子集可用符号表述为或

^[8][20]

空集是任何集合的子集。^[8]

全集（universal set）亦称通用集、宇宙集、万有集、个体域或论域。集合论的基本概念之一。它包含所讨论的问题中涉及的所有集合。在研究某一特定理论时，人们关心的往往不是一切可能的集合，而仅仅是某个确定的集合的所有子集合。当事先给定一个集合，并且约定只限于讨论的元素或子集时，人们就把称为该理论的论域或全集。全集常用字母，，等表示。取作全集可用符号表述为。^[8][21]

全集的补集是空集，即^[19]

补集（complementary set）亦称绝对余集。集合论的基本概念之一。全集与集的差集称为的补集。常记为（或.可用符号表述为：）.的补集也就是相对于全集的余集。^[19]

正则集（regular set），集合论的一个重要概念。它是为避免出现悖论的奇特集合而引进的。集合是正则的，如果存在的元素，使得和没有公元素，用符号表示为.^[8]

不相交的集合（disjoint sets），两个特殊相关的集合。指两个集合没有公共元素。对于两个集合与，如果，则称与不相交，这一概念可以推广到多个集合的情况。设是一个集合族，对任何成立，则称是互不相交的集合族（两两不相交的集族）。^[8]

集合的直和（direct sum of sets），并的一种特殊情况，即在满足条件下的集合之并，若集合与集合不相交，且有，则为其子集与的直和。记为.可用符号表述为

或

集合的直和的概念可以推广到一般的情况：设为标号集，为集族，是到的一一对应，且，如果时总有，则称广义并集为集族的广义直和，记为.^[8]

在公理化集合论中，有空集公理：存在一个没有元素的集合。这条公理可形式化为。这条公理肯定了不含元素的集合是存在的。由外延公理还可推出：空集只有一个。利用分离公理，可以断言空类为集合。^[22][23]

空间集合的维度：一个空间集合的维度记为，定义为该集合中空间目标的最大维度。^[17]

即

则根据上式，可知下图(a)(b)对应的空间集合的维度分别为和由于只能表达其中某一空间目标的维度，因此，上述公式仅是对空间元素维度的一种粗略表达。例如，当空间集合是由点、线或面组合而成,只能表达其中空间元素的最高维度。特别地，当为空集时，则^[17]

在集合范畴中，空集是初始对象，任何单元素集合都是终结对象。因此集合范畴有唯一的初始对象，但有很多终结对象。单元素含幺半群在含幺半群范畴中既是初始的又是终结的。在一个半序集合确定的范畴中，该半序集合的绝对极小值是一个初始对象，绝对极大值是一个终结对象。由于整数集中没有最大值也无最小值，因此在整数和通常的序确定的范畴中，既无初始对象也无终结对象。^[24]

布尔抛弃了传统逻辑中的等形式，而用等表示类，用表示“从中选出”，即求与的公共元素，现在称为“与的交集”，当与无公共元素时，用表示，与的并集。又用1表示全总集，用0表示空集，用表示的补集。对于和而言，可换率、结合律是成立的。布尔注意到，如果在数中只限于0及1，则上述规律对数的加法乘法也是成立的。布尔认为逻辑中的运算可以和数学一样处理，提出了布尔代数。布尔代数在现代科技中广泛运用可直接应用于开关理论和逻辑电路设计、密码学和计算机理论科学等。^[6][25][18]

图（Graph）是一种数据结构。在图结构中，节点之间的关系可以是任意的，图中任意两个数据元素之间都可能相关。图由两个集合和组成，记为，其中是顶点的有穷非空集合，E是中顶点偶对的有穷集合，这些顶点偶对称为边。和通常分别表示图的顶点集合和边集合，可以为空集。若为空，则图只有顶点而没有边。图的应用极为广泛，已渗入诸如物理、化学、电信工程、计算机科学以及数学等其他分支中。^[26]

在算法设计中，可能将空集作为算法设计的开头或结尾。如在设计动车组运用方案网络时，利用禁忌—蚂蚁算法对网络进行求解，当访问的节点为空集时，一组可行解即构造完成。^[27]而在贪婪算法中，以一个空集合作为初始的解集合,然后在剩下的所有其他候选点中选择一个具有最大满足能力的候选点加入到原来的候选集合中,如此反复,直至全部需求得到满足为止。^[28]

现代逻辑兴起后，基于对空类、自然数的定义和空集的界定而产生了虚概念。虚概念即现实世界不存在其反映的对象的概念。对于实概念而言，其外延即“由具有这个概念所反映的特有属性的那些事物所组成的类”，对于虚概念来说将其外延即为空集。^[5][29]

空集可以用于阐释命题的范围。从对应欧拉图的集合运 算表示法可以看出，全称肯定命题、全称否定命题、特称肯定 命题要求主、谓项都必须是非空集，而特称否定命题要求主项 是非空集，而谓项则可以是空集。^[30]

湖泊平面形态的变化主要受到气候变化、泥沙淤积和河流侵蚀的影响。其中，整体退缩和整体扩张是受气候变化影响的主要类型。而局部退缩、局部扩张和局部边界凌乱变化是主要由泥沙淤积引起的变化类型。人类活动对湖泊平面形态的影响主要表现为整体扩张、整体退缩和局部退缩。而河流侵蚀会导致整体退缩甚至整体消失。湖泊和河段的平面形态变化可以被看作是湖泊和河流平面形态变化的子集。整体消失可以被看作是整体退缩的极限状态，通常是由于严重干旱或河流侵蚀导致湖泊水体完全消失，可以被视为是空集。^[7]

空集可以用来表示财富效应下的合作解。不同议价能力(权力)的分布状况将决定价格变化的分布，从而决定不同的收入分配的分布，并最终反映在积分路径和加总结果(效率)的不同，从而说明了在宏观分析中，财富收入效应的重要地位决定了权力分析的必要性和重要性。如果考虑到不同收入分配产生的福利效应即货币边际效用的变化以及效用感受能力的变化，在处理外部性问题的交易谈判中，合作解很可能是空集。^[31]

例如在外部性事件中，A的活动对B造成120单位的效用损失。当B有权利自由活动时，则A要坚持其活动必须补偿B以120单位的效用。但是补偿一定要表现为实物或货币，100美元对A和B的边际效用不同，同时对于A和B在不同状态时也不同，当A富有时，100相当于120个效用单位，当A贫困时则相当150个单位效用。因此，在不同权利初始配置下，补偿大小不一致并且A和B对补偿的实物效用大小也存在分歧(即一种没有策略行为的分歧)，合作解也就会是空集。^[31]

空集可以用来描述物理真空源的兼容性。物理实在的真空理应由物理基元的零点能量所定义。由于夸克是物质基元，所以可定义是一种物理真空元。它是任何夸克蜕变为基态所释放的最低能量元。同时由于是最低能态的自由夸克，不可能再衰变。所以，和是两种物理真空元，它们构成了物理真空。这两种真空元具有互补性，因为由定义式得到的不是差集，而是补集，即为关于的补集，所以，由公式有:和两者是兼容的，不存在交合。是零点费米子，而是零点玻色子，共同构成零点真空场。^[32]