高过剩数

高过剩数，是指一正整数，其除数函数（含本身的所有因子和）大于所有较小正整数的除数函数。这类数在数论中具有特殊的地位，因为它们在因数和的性质上超越了其他数。

高过剩数及一些有类似特性的整数最早是由皮莱在1943年提出的，莱昂尼达斯·Alaoglu及保罗·艾狄胥进行了一些相关的研究。他们列出了所有小于10^4的高过剩数，并证明小于整数N的高过剩数个数至少和log2N成正比。他们也证明了7200是高过剩数中最大的幂数，也是其有奇数个因子的最大高过剩数。

自然数n为高过剩数，当且仅当对于所有小于n的自然数m，下式恒成立：

σ(n) > σ(m)

其中σ为除数函数。头几个高过剩数为：1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60等（OEIS数列A002093）。例如，5不是高过剩数，因为σ(5) = 6小于σ(4) = 7，而8是高过剩数，因为σ(8) = 15大于所有较小正整数的除数函数。