高欧拉商数

高欧拉商数（highly totient number）是使方程式φ(x) = k有m个解，其中φ是欧拉函数，m为正整数，而且若k用其他较小的整数代入时，解的个数都会小于m的正整数，类似于高合成数。例如，当k=8时，方程φ(x) = 8有5个解，而小于8的任何整数代入φ(x) = k都不会得到5个解，因此8是高欧拉商数。

高欧拉商数（highlytotientnumber）k是有以下性质的正整数：使方程式有m个解，其中φ是欧拉函数，m为正整数，而且若k用其他较小的整数代入时，解的个数都会小于m。

例如方程式，在时，分别有个解（在k为大于1的奇数时，的解不存在），有5个解，若代入小于8的数值，解都少于5个，因此8是高欧拉商数。

头几个高欧拉商数是：

（OEIS中的数列A097942）.

分别使上述方程有及72个解。若将使分别恰有0个解、1个解、2个解……的最小k值组成一个数列，则高欧拉商数会是此数列的一个子集。例如8为高欧拉商数，有5个解，表示任何小于8的整数都无法使有5个解，因此8是使有5个解的最小k值。

高欧拉商数的概念有点类似高合成数；1既是高合成数中唯一的奇数，也是高欧拉商数中唯一的奇数（其实1是欧拉函数值域中唯一的奇数）。而且高欧拉商数和高合成数都有无限多个，不过随着数字的增加，要找到高欧拉商数也就越来困难，因为欧拉商数和质因子分解有关，数字越大，就越难进行质因子分解。若x的质因数分解为x=∏i pi^ei，则其欧拉商数为以下的乘积：φ(x)=∏i (pi-1)pi^(ei-1)。因此，高欧拉商数和较小的整数相比，可以表示为更多种以上式表示的乘积，这也是它们难以找到的原因之一。