高斯定理

对于一个矢量场V，其散度的体积分等于V在此体积封闭表面上的法向分量的面积分，上述定理被成为高斯定理（英文：Gauss's law），又称为散度定理（Divergence theorem）。^[1][2]其公式为：

式中是边界曲面的外侧，此定理揭示了空间区域上的三重积分与沿的边界曲面的面积分之间的关系。^[6][7]

高斯定理表明：通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和除以 ，与闭合面外的电荷无关。^[8]

约翰· 卡尔· 弗里德里希· 高斯(Johann Carl Friedrich Gauss）最初发现这个定理是在他研究电学问题中。^[3]他尝试使用一种新的工具，电荷分布来解决电学问题，但发现它们之间没有简单的关系。于是他引入了一个新的概念电场，发现电场和电荷之间存在着一种简单的关系即高斯定律。^[5][9]

高斯定理把矢量场通过曲面的流动(即通量)与曲面内部的向量场的表现联系了起来，将复杂的曲面积分计算转化为较为简单的三重积分运算。^[2][7]

高斯在电磁学领域的工作逐渐向广泛的数学和物理领域扩展。随着数学和物理学的发展，高斯的定理得到了各种各样的推广和应用。现在它不仅在电磁学中应用广泛，还在流体力学、概率统计等许多领域中得到了广泛的应用。^[10][11]

若某封闭区域空间的边界由光滑或分片光滑的闭曲面所围成，函数P(x,y,z)，Q(x;y,z)，R(x.y,z)在上具有一阶连续偏导数，则^[6][7]

式中是边界曲面的外侧，称上式为高斯定理，也称为高斯公式或散度定理。此定理揭示了空间区域上的三重积分与沿的边界曲面的面积分之间的关系。^[6][7]

高斯定理能够将计算复杂的曲面积分转化为较为简单的三重积分运算，运用高斯定理还能得出许多有用的推论。^[7]

1826年，苏联数学家奥斯特洛格拉特斯基（Mikhail Ostrogradsky）首先撰文发表了散度定理。由德国数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯在1813年他的著作中已经研究了这一定理，只是未及时发表，因此散度定理也称为高斯定理。^[12][13][14]

首先假设是体单连通域，如右图所示构建空间直角坐标系，则

其中为有界封闭区域，函数在定义域上连续，分别记为，则有^[15]

当为更一般的区域时，可以利用平行于某一坐标平面的平面将该区域分割为若干体单连通域，在这些子区域中均满足上述公式，累加仍可得到上述结果。^[15]

同理可证：

将上述三个等式相加，即得到高斯定理。^[15]

由两类曲面之间的联系立即可以给出高斯公式的第一类曲面积分形式：^[16]

其中，和分别表示体积元素和面积元素，表示向量 轴的夹角，分别对应P，Q，R的微分形式中的系数。

高斯定理的矢量形式可以由标量形式推导而来。假设空间中的任意闭合曲面为 ，其方向为外法向，电场为 ，电荷密度为 。根据高斯定理（标量形式），我有：

^[17]

注意到 和和都是矢量值量，因此我们可以对上式进行矢量形式的推导。^[17]

左边的积分式可以通过对曲面 进行微元分割，将所有微小面积元上的求和。对于微元面，其法向矢量为 因此有：

^[17]

这里的表示微小面积元的标量值，表示矢量内积。

若规定一个作用于算子如下：^[18]

其中是基向量， 是偏微分算子，分别在 三个方向上的分量。

由散度的定义式可得：^[18]

得到结果如下：^[18]

上式也称为高斯定理的微分形式。^[18]

若某封闭区域空间的边界由光滑或分片光滑的闭曲面所围成，则的体积可以表示为：^[15]

若某封闭区域空间为空间二维单连通区域，函数P(x,y,z)，Q(x;y,z)，R(x.y,z)在上具有一阶连续偏导数，则以下三个条件式等价的。^[19]

（1）

（2）沿任何一个闭合曲面的曲面积分为：

（3）以下曲面积分与无关，仅与的边界曲线有关。

标量函数与向量场积的高斯定理也称为散度定理或高斯-奥斯特罗格拉德斯基定理。它表达了向量场的散度（即向量场在每一点的发散程度）与该向量场通过一个封闭曲面的通量之间的关系。^[17]

设 为一个向量场，为一个标量函数，则散度定理可以写成下面的形式：

其中，为向量场 的散度，为三重积分的微元，S表示空间中一个有限的曲面，为该曲面上的微小面元，表示向量场在该微小面元上的法向分量。^[17]

散度定理揭示了向量场的局部性质（即其散度）与整体性质（即其通过封闭曲面的通量）之间的关系，是许多自然科学和应用领域中重要的通用原理。例如，在电磁学中，散度定理表明电场的散度和电荷密度之间存在关系，常被用于推导高斯定理和库仑定律。^[17]

在电磁学中，分部积分法常常用来证明高斯定理，例如：

^[20]

表示向量场的散度，表示空间中的微小体积，表示该微小体积所包含的表面表示该表面上的微小面元，表示向量场在该表面上的法向分量。^[21][20]

斯托克斯公式是矢量微积分中的一个基本公式，它描述了一个向量场 的旋度和与该向量场围成的曲面的边界之间的关系。在电磁学中，斯托克斯公式与高斯定理密切相关，可以帮助我们确定电磁场的演化规律。^[21]

它的数学表达式为：

^[21]

其中，表示一个区域，表示该区域上面积元素的法向量，表示该区域的边界，表示该边界上长度元素的切向量。^[21]

静电场中的高斯定理给出了静电场中通过任一闭合曲面的电通量与该闭合曲面内所包围的电荷之间的量值关系，是静电场的一条基本定理。具体来说，在真空中的静电场中，任一闭合面的电通量等于该闭合面内的电荷代数和的分之一，而与闭合面外的电荷无关，公式表示如下：^[22]

静电场的高斯定理同样适用于恒定电场中。^[23]

在磁场中，对于任意一个闭合曲面，由于磁感线是闭合曲线，即磁感线进入和传出闭合曲面的数量总是相等的，因此通过任何闭合曲面的总磁通量必为零，称为磁场的高斯定理，也称磁通连续定理，它表明磁场是无源场，用公式表示如下：^[24]

磁场的高斯定理也是麦克斯韦方程组的四个方程之一。^[25]

(1)变化的磁场元产生的电场涡旋电场的环路定理为:^[26]

^[26]

而磁场的环路定理为

两者比较，显然与是对应的，又因为

^[26]

所以，与式(12)比较可知，变化的磁场元产生的涡旋电场强度为:

^[26]

(2)高斯定理

仿照静磁场高斯定理的证明可得涡旋电场的高斯定理表达式为：

^[26]

高斯定理和库仑定律有本质上的联系。^[27]

高斯定理有助于解释库仑定律中的电荷离散分布与电场的对应关系。在应用高斯定理计算电荷采用上，我们可以将复杂的电荷分布看做一系列点电荷的叠加。库仑定律的公式适用于点电荷，在计算电荷的时候，我们可以将连续的点电荷之间的相互作用力划分为无穷小的力，然后集成得到库仑定律的形式。^[27][28]

高斯定理可以用于计算电荷分布所产生的电场强度，或者反过来，通过已知的电场强度计算出电荷分布。这个应用被广泛用于电场分析中，例如计算电场、计算电荷分布等。^[29]

用于计算电荷分布所产生的电势，或者反过来，通过已知的电势计算出电荷分布。这个应用被广泛用于电势分析中，例如计算静电势、计算电荷分布等。^[30]

利用高斯定理，可以计算在一个闭合曲面内通过的电通量，从而计算出其内部的电场强度。这个应用被广泛用于电磁感应分析中，例如计算法拉第电磁感应、计算电磁波等。^[30]