霍曼转移轨道

霍曼转移轨道(Hohmann transfer orbit)，是最常见的轨道机动方法之一，是由德国工程师霍曼于1925年首次提出的概念^[1][2]。

霍曼转移轨道主要研究的是共面同心(同向)圆轨道之间的最小能量转移问题，能量最小，意味着推进剂要求量小，外在表现是两次冲量产生的速度增量之和--特征速度最小。霍曼转移轨道的特点是转移椭圆轨道的近地点与远地点分别与原轨道和新轨道相切，因此它又称为双共切椭圆轨道^[2]。

右图为将太空船从低轨道（1）送往较高轨道（3）的霍曼转移轨道。太空船在原先轨道（1）上瞬间加速后，进入一个椭圆形的转移轨道（2）。太空船由此椭圆轨道的近拱点开始，抵达远拱点后再瞬间加速，进入另一个圆轨道（3），此即为目标轨道。

值得注意的是，三个轨道的轨道半长轴越来越大，因此两次引擎推进皆是加速，总能量增加而进入较高，即半长轴较大的轨道。

反过来，霍曼转移轨道亦可将太空船送往较低的轨道，不过反过来是两次减速而非加速。霍曼转移轨道的两次加速假设是瞬间完成，但实际上加速要花费很长时间，因此需要额外的燃料来补偿。高推力引擎所需的额外燃料较小，低推力引擎还要通过控制推进的时间，以逐渐提高轨道来逼近霍曼转移轨道。因此实际上速度增量会比假设的情况更大且花消耗更多时间。

轨道上物体的总能等于动能加重力位能，而总能又等于重力位能（轨道半径为轨道半长轴a时的重力位能）的一半：

以速度为未知解方程式，得到轨道能量守恒方程式：

其中，v为物体的速度，r为物体至中央物体中心的距离，a为物体轨道的半长轴，为中央物体的标准重力参数，具体为：

因此，霍曼转移所需的两次Δv（或Δv’）为（假设速度改变是瞬间达成）：

其中， 分别是原本圆轨道与目标圆轨道的半径，大的（小的）对应到霍曼转移轨道的远拱点（近拱点）距离。

无论前往较高或较低轨道，根据开普勒第三定律，霍曼转移所花的时间为：

其中，是霍曼转移轨道的半长轴，即椭圆轨道周期的一半。