氢原子百科 
雅可比椭圆函数，数学术语，常见于高等数学之中。
雅可比椭圆函数的定义
第一类椭圆积分
z=∫[(1-t^2)(1-k^2*t^2)]^(-1/2)dt (0~ω)
的反函数是双周期的亚纯函数，记作
ω=sn(z)=sn(z,k)
它具有基本周期：
ω=4K=4∫[1-k^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2)
ω'=2iK'=2i∫[1-k’^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2) k'=Sqr(1-k^2)
sn(z)称为椭圆正弦，k为模，k‘为补模。若
sin(φ)=sn(z)
则称φ为z的振幅函数，记作 φ=am(z) 又定义
cn(z)=cos(φ)=sqr(1-sn(z)^2) (椭圆余弦)
tn(z)=tan(φ)=sn(z)/cn(z) (椭圆正切)
dn(z)=sqr(1-k^2*sn(z)^2)
上式中 sn(z) cn(z) tn(z) dn(z) 统称雅可比椭圆函数，它们都是二阶椭圆函数。
雅可比椭圆函数的性质
特殊点的值
z0 K/2K iK'/2 K+iK'/2iK'K+iK'sn(z)0(1+k'^2)^(-1/2)1 ik^(-1/2) k^(-1/2)∞1/kcn(z)1sqr(k'/(1+k'))0sqr((k+1)/k)-sqr((k-1)/k)∞-ik'/kdn(z)1 k'^(1/2)k' sqr(1+k) sqr(1-k)∞0
周期，零点，极点，留数
-基本周期零点极点留数sn(z)4K 2iK'2mK+2niK'2mK+(2n+1)iK'((-1)^m)/kcn(z)4K 2K+2iK'(2m+1)K+2niK'2mK+(2n+1)iK'((-1)^(m+n))/(ik)dn(z)2K 4iK'(2m+1)K+(2n+1)iK'2mK+(2n+1)iK'(-1)^(n-1)*i
诱导公式表
sn(mK+niK±z)
╲m n╲-10122p-1-dn(z)/(k*cn(z))±1/(k*sn(z))dn(z)/(k*cn(z))负正1/(k*sn(z))-0-cn(z)/dn(z)±sn(z)cn(z)/dn(z)负正sn(z)-1-dn(z)/(k*cn(z))±1/(k*sn(z))dn(z)/(k*cn(z))负正1/(k*sn(z))-2-cn(z)/dn(z)±sn(z)cn(z)/dn(z)负正sn(z)-2q----(-1)^p*sn(z)
cn(mK+niK±z)
╲m n╲-10122p-1-(ik')/(kcn(z))±(idn(z))/(ksn(z))(ik')/(kcn(z))负正(idn(z))/(ksn(z))-0±(k'sn(z))/dn(z)cn(z)负正(k'sn(z))/dn(z)-cn(z)-1(ik')/(kcn(z))负正(idn(z))/(ksn(z))-(ik')/(kcn(z))±(idn(z))/(ksn(z))-2负正(k'sn(z))/dn(z)-cn(z)±(k'sn(z))/dn(z)cn(z)-2q----(-1)^(p+q)*cn(z)
dn(mK+niK±z)
╲m n╲-1012p-1负正(ik'sn(z))/cn(z)±(icn(z))/sn(z)负正(ik'sn(z))/cn(z)±(icn(z))/sn(z)-0k'/dn(z)dn(z)k'/dn(z)dn(z)-1±(ik'sn(z))/cn(z)负正(icn(z))/sn(z)±(ik'sn(z))/cn(z)负正(icn(z))/sn(z)-2-k'/dn(z)-dn(z)-k'/dn(z)-dn(z)-q----(-1)^q*dn(z)
基本关系
sn(z)^2+cn(z)^2=1
dn(z)^2+k^2*sn(z)^2=1
dn(z)^2-k^2*cn(z)^2=k'^2
am(-z)=-am(z)
sn(-z)=-sn(z)
cn(-z)=cn(z)
tn(-z)=-tn(z)
dn(-z)=-dn(z)
由此可见，雅可比椭圆函数的关系与圆函数（三角函数）相似。
