酉群

在数学中，n 阶酉群（unitary group）是 n×n酉矩阵组成的群，群乘法是矩阵乘法。酉群记作 U(n)，是一般线性群 GL(n, C) 的一个子群。在最简单情形 n = 1，群 U(1) 相当于圆群，由所有绝对值为 1 的复数在乘法下组成的群。所有酉群都包含一个这样的子群。酉群 U(n) 是一个 n2 维实李群。U(n) 的李代数由所有复 n× n斜埃尔米特矩阵组成，李括号为交换子。一般酉群(也称为酉相似群）由所有复矩阵 A 使得 A * A 是恒同矩阵非零复数倍，这就是酉群与恒同矩阵的正数倍的乘积。

因为酉矩阵的行列式是模长 1 复数，行列式给出了一个群同态

这个同态的核是行列式为单位的酉矩阵集合，这个子群称为特殊酉群，记作 SU(n)。

这个短正合列分裂，故 U(n) 可以写成 SU(n) 与 U(1) 的半直积。这里 U(1) 是 U(n) 中由 形式的矩阵组成的子群。

酉群 U(n) 对 是非交换的。U(n) 的中心是数量矩阵λI，这里 。这由舒尔引理得来。这样中心同构于 U(1)。因为 U(n) 的中心是一个 1 维阿贝尔正规子群，酉群不是半单的。

酉群 U(n) 作为 的子集赋予相对拓扑，是所有复矩阵集合，本身同构于维欧几里得空间。

作为一个拓扑空间，U(n) 是紧连通空间。因为 U(n) 是的一个有界闭子集，然后海涅-波莱尔定理可知紧性。欲证 U(n) 是连通的，回忆到任何酉矩阵 A 能被另一个酉矩阵 S 对角化。任何对角酉矩阵的对角线上都是绝对值为 1 的复数。从而我们可以写成

U(n) 中从单位到 A 的一条道路由

给出。

酉群不是单连通的；对所有 n，U(n) 的基本群是无限循环群

第一个酉群 U(1) 是一个拓扑圆周，熟知其有同构于 Z 的基本群，包含映射 在上是同构（其商是斯蒂弗尔流形）。

行列式映射 诱导了基本群的同构，分裂映射 诱导其逆。

酉群是正交群、辛群与复数群的 3 重交集：

从而一个酉结构可以视为一个正交结构、复结构与辛结构，他们要求是“一致的”（意思是说：复结构与辛形式使用同样的 J，且 J 是正交的；取定一个 J 将所有群写成矩阵群便确保了一致性）。

事实上，它是这三个中任何两个的交；从而一个一致的正交与复结构导致了一个辛结构，如此等等。

在方程的层次上，这可以有下面看出

辛：,

复： ,

正交： ,

任何两个方程蕴含第三个。

在形式的层次上，这可从埃尔米特形式分解为实部与虚部看出：实部是对称的（或正交），虚部是斜正交（辛）——他们由复结构联系（这便是一致性）。在一个殆dài凯勒流形上，可以将这个分解写成，这里 h 是埃尔米特形式，g 是黎曼度量，i 是殆复结构，而 ω 是殆辛结构。

从李群的观点来看，这可部分地解释如下： 是 的极大紧子群，而 U(n) 是与 的极大紧子群。从而交集 或 是这些群的极大紧子群，即 U(n)。从这个观点来看，意料之外的是交集 。

结构：殆埃米尔特

用 G-结构的语言来说，一个具有 U(n)-结构的流形是一个殆埃米尔特流形。

从李群的观点来看，典型酉群是斯坦伯格群 的实形式，后者是由一般线性群的“图表自同构”（翻转 Dynkin diagram A，对应于转置逆）与扩张的域同构（即复共轭）的复合得到的代数群。两个自同构都是代数群的自同构，阶数为 2，可交换，酉群作为代数群是乘积自同构的不动点。典型酉群是这个群的实形式，对应于标准埃尔米特形式 Ψ，它是正定的。

这可从几个方面推广：

推广到其它埃尔米特形式得到了不定酉群；

域扩张可用任何 2 阶可分代数取代，最特别地是一个 2 阶有限域扩张；

推广到其它图表得出李型群，即其它斯坦伯格群, （以及）Suzuki-Ree 群；

考虑一个推广的酉群作为代数群，可取它的点在不同的代数上。

类似于不定正交群，给定一个不必正定（但一般取为非退化）的埃尔米特形式，考虑保持这个形式的变换，我们可以定义不定酉群。这里我们在复向量空间上考虑问题。

给定复向量空间 V 上的一个埃尔米特形式 Ψ，酉群 U(Ψ) 是保持这个形式的变换群：变换 M 使得 ，对所有。写成矩阵，设这个形式用矩阵 Φ 表示，这便是说。

就像实数上的对称形式，埃尔米特形式由符号确定，所有都是酉合同于对角线上 p 个元素为 1，q 个 - 1 的对角矩阵。非退化假设等价于。在一组标准基下，这代表二次形式：

作为对称形式是：,得出的群记为。

在 个元素的有限域上，有一个唯一的 2 阶扩张域，带有 2 阶自同构（弗罗贝尼乌斯自同构的 r 次幂）。这使得我们可以定义上一个向量空间 V 上的埃尔米特形式，是一个-双线性映射使得以及 对。另外，有限域上向量空间的所有非退化埃尔米特形式都酉合同与用恒同矩阵表示的标准形式。这便是说，任何埃尔米特形式酉等价于

这里表示在 n-维空间 V 的某个特定-基下的坐标(Grove 2002, Thm. 10.3)。

从而我们对扩张可以定义一个（唯一的）n 维酉群，记作 或（取决于作者的习惯）。酉群中矩阵的行列式为 1 的子群称为特殊酉群，记作 或 。为方便起见，本文使用 写法。的中心的阶数为由为酉数量矩阵组成，这便是所有矩阵，这里。特殊酉群的中心的阶数为，由那些阶数整除 n 的酉数量矩阵组成。酉群除以中心的商称为射影酉群，，特殊酉群除以中心是射影特殊酉群。在大多数情形（与），是完全群而是有限单群(Grove 2002, Thm. 11.22 and 11.26)。

更一般地，给定一个域 k 与一个 2 阶可分 k-代数 K（可能是一个域扩张但也未必），我们可以定义关于这个扩张的酉群。

首先，存在 K 的唯一 k-自同构是一个对合且恰好不动元为 k（当且仅当 )。这是复共轭与 2 阶有限域扩张共轭的推广，从而我们可以在它上面的定义埃尔米特形式与酉群。

定义酉群的方程是一些 k 上的多项式方程（但不是在 k 上）：对标准形式，这些方程由矩阵给出，这里 是 共轭转置。给定另外一个形式，它们是。从而酉群一个代数群，它在一个 k-代数 R 上的点由

给出。

对域扩张与标准（正定）埃尔米特形式，这得出了具有实点与复点的代数群：

一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，；

(2)结合律，即(；

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群；时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

群是现代数学中最重要的具有概括性的概念之一，有关群的性质及其结构的理论称为群论。

1831年，年仅20岁的青年数学家伽罗华得到n次方根可否通过对系数施行四则 和开方运算来求解的判据，一举解决了五 次以上代数方程求解的千古难题。这个问题得以解决，取决于他对置换群性质所作的深入讨论，群的概念就在这时产生了。现在研究代数方程的性质与群的性质之间的关系已成为一门大理论伽罗华理论所研 究的对象，伽罗华理论在群论的发展中起 作决定性的作用。40年后克莱因的变换群导致几何观的一次革命; 索福斯·李研究 微分方程，开创李群论，更深刻影响着数 学物理的发展。在数学物理的对称现象的 研究中，对称的概念看来是明显的，但对 对称概念的精确和一般的描述，特别是对 称性质量上的计算，却要用群论这个工具 才行。19世纪到20世纪，在几何、晶体等 物理、化学中，都弄清了对称规律的重要 意义，因此群论的方法和结果得以广泛使 用。1890年，费道洛夫用群论阐明晶体结 构的几何形态，特别是20世纪30年代，书尔、维格纳等人把群论应用于量子力学 取得成功，导致了原子、分子结构的重要 发现。现在群论已经是量子物理和量子化 学常用的工具了，这更使群论走出了纯数 学专业的数学王国，活跃于更广阔的科学 地。今天，群的概念已普遍被认为是数学 及其许多应用中最基本的概念之一，它不 但渗透到像几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而着重要 的作用，还形成了一些新学科，如拓扑群、李群、代数群、算术群等。它们还具有与 群结构相联系的其他结构，如拓扑、解析 流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至编码学、自动机理论等方面 都有重要应用。作为推广“群”的概念的 产物，群论及其在计算机科学中的应用，也有很大的发展。

群的概念中有两个方面：一是指出它 的元素是哪些事物，二是元素间运算的规 则，可分别用它们来研究群。研究群的元 素和元素集合的各种性质，以及它们同群 的运算性质之间的联系，这常常是研究各 种具体的群，如交换群、置换群、运动群、拓扑群等; 也可研究完全由群的运算性质 表示出来的特性，它属于抽象群论或一般 群论。下面是一些抽象群论的概念：同构，一个群的元素与另一个群的元素对应，运 算结果也是对应的，称两个群同构; 一个 群所含元素的个数称为群的阶，群G的阶 记为|G| ，|G|有限时为有限群，无限 时为无限群; 同构中两个群中的元素是一 一对应的，若存在多对一的对应则称为同 态。