缓和曲线

缓和曲线指的是平面线形中，在直线与圆曲线、圆曲线与圆曲线之间设置的曲率连续变化的曲线。^[1]

缓和曲线是道路平面线形要素之一，它是设置在直线与圆曲线之间或半径相差较大的两个转向相同的圆曲线之间的一种曲率连续变化的曲线。《公路工程技术标准》（JTG B01-2014）规定，除四级路可不设缓和曲线外，其余各级公路都应设置缓和曲线。在现代高速公路上，有时缓和曲线所占的比例超过了直线和圆曲线，成为平面线形的主要组成部分。在城市道路上，缓和曲线也被广泛地使用。^[1][2]

缓和曲线的作用：

1、缓和曲率——使曲率连续变化；

2、缓和超高——使横向坡度连续变化；

3、缓和加宽——使车道加宽连续变化。

缓和曲线产生的效果：

1、曲率连续变化，便于车辆驾驶；

2、离心加速度连续变化，没有突变，乘客感觉舒适；

3、超高横坡度及加宽逐渐变化，行车更加稳定；

4、与圆曲线配合，增加线形美观。

由于直线与圆曲线间存在曲率半径的突变，圆曲线半径越大，这种突变程度就越小。当圆曲线半径超过2000m时，这种突变对轨道交通行车影响很小。而当正线上曲线半径不大于2000m时，则要在圆曲线与直线间加设缓和曲线，实现曲率半径的逐渐过渡，减少列车在突变点处的轮轨冲击。因此，《地铁设计规范》（GB50157—2003）规定：“线路平面圆曲线与直线之间应根据曲线半径、超高设置及设计速度等因素设置缓和曲线，其长度可按表的规定采用。”

地铁缓和曲线长度

R/L/.V10095908580757065605550454035303000302520250035302520200040353025202015005550453530252012007060504035302520201000857060504535302525800858075655545403530252070085807570605045353025202065085807570605545403530252020600857570706050453530202020550757070655545403520202050070706560504535202020204507065605550402520202040065606055452520202035060606035302520202030060606035302520202506060403530202020060404035252015040403525

缓和曲线的线型多种多样，如回旋线、三次抛物线、七次四项式型、半波正弦型、一波正弦型、双纽线、多心复曲线……

我国常用的线型有两种：三次抛物线、回旋线。其中三次抛物线是回旋线的近似结果。

铁路上常用的缓和曲线是三次抛物线型。其方程式为：

上式中C是三次抛物线参数，它越大缓和曲线越缓。它近似的等于圆曲线半径乘以缓和曲线长度，即

三次抛物线型缓和曲线的优点是铺设和养护维修比较容易，缓和曲线长度比较短；其缺点是始、终点存在折角，影响行车的平稳性。

公路、匝道常用的缓和曲线是回旋线，也叫放射螺旋线。回旋线不仅线形美观，而且与驾驶员匀速转动方向盘由圆曲线驶入直线或者由直线驶入圆曲线的轨迹线相符合。

回旋线的本质特征是：

即曲率k随弧长l线性变化；

表示曲率随弧长的增大而增大或减小；

是回旋线参数。它是圆曲线半径 R 与缓和曲线全长的几何平均值，单位为米。对于一条缓和曲线而言，它是一个常数。A 越大，说明曲率变化越慢，曲线拐弯越缓；A越小，说明曲率变化越快，曲线拐弯越急。

实地放样缓和曲线之前，需要计算若干曲线要素：

不同类型的缓和曲线，数值不同

p不同类型的缓和曲线，数值不同

q不同类型的缓和曲线，数值不同

上面的公式中

——路线偏转角，单位：弧度。这是设计数据；

R——圆曲线半径，单位：m。这是设计数据；

——缓和曲线偏转角，单位：弧度；

p——内移距，单位：m；

q——切线增长，单位：m；（有些文献用 m 表示该变量）

T——切线长，单位：m；

E——外距，单位：m；

D——切曲差，即切线长减去曲线长，单位：m；

注意：的计算公式请见下文，每种类型的缓和曲线都有自己的计算公式。

[式中为路线设计参数，R值对于设计道路可查相关规范 ]

回旋线最本质的特点就是

为了确定上式的正负号，需要对曲率的正负号取值做个约定

数学上曲率的定义为，即曲率是前进方位角T随弧长l的变化率。

在的情况下，若则k取正值，若则k取负值。

下图分四种情况，对曲率的正负号取法进行了说明：

曲率半径是曲率的倒数，其符号与曲率一致。

公式中，参数A无法反映出曲率随弧长增大，到底是增大还是减小？为此引入常量a，它满足下式

a就是曲率变化率，它可能是正数，也可能是负数。

a与A的关系满足公式

为了说明a的符号，以及它与A的关系，请见下图

在测量坐标系下K0+000处的曲率为-1/100(左转为负)，K0+150处的曲率为（右转为正）。可知：

曲率变化率 参数

在数学坐标系下K0+000处的曲率为(左转为正)，K0+150处的曲率为（右转为负）。可知：

曲率变化率参数

求解微分方程 可得

曲率k随桩号L变化的函数为。当时

前进方向T随桩号L变化的函数为。当 时

坐标随桩号L变化的函数为（用到了复数）：

当时

特别的，当时

当时，令，则

这个特解与通解相比，简化了不少。它的含义其实就是在曲率为零的地方建立坐标系。如下图所示，在直缓点建立了坐标系：

x轴是回旋线的切线，其正方向是桩号增加方向；y轴是回旋线的法线，在x轴的左边就是数学坐标系，在x轴的右边就是测量坐标系。

从原点开始沿回旋线行走距离，到达点P，其坐标为(x，y)。

点 P 处的切线与轴夹角为，称其为切线角，也是点 P 处的前进方位角。

原点与点 P 的连线叫弦，其长度为c，也就是弦长。

原点到点 P 的方位角为，也就是偏角，也叫弦切角。

点 P 处，切线与弦线的夹角为

从原点开始沿回旋线行走距离，到达缓圆点HY，即回旋线的长度为

圆曲线的半径为R

在缓圆点处达到最大值

接下来，计算各个参数：

曲率变化率

参数

曲率

曲率半径

切线角

最大切线角

坐标

弦长的计算公式如下：

弦切角的计算公式如下：

注意：亦即弦切角近似的等于切线角的三分之一。

回旋线的曲线要素计算公式如下：

回旋曲线段，根据桩号 L，距中 Z，计算前进方向 T 及坐标 x，y的公式如下：

上式需要一个起算点，即需要知道桩号处的 。也可以从曲率为零的点开始起算，根据可知：当时曲率为零。是回旋线上任意一点的桩号和曲率。

距中 Z 的正方向是前进方向 T 加上，因此：

在数学坐标系下，距中 Z 左正右负，即在回旋线沿桩号增加方向右侧取负值；

在测量坐标系下，距中 Z 左负右正，即在回旋线沿桩号增加方向左侧取负值。

参数 C 按下式计算：

更高次项的系数，请见下表

1　　2/5　　1123/3600　　23519/78000　　93134377/286416000　　671176607/1790100000　　60632952362431/134042688000000　　10959451729410359/19436189760000000　　28568328624908898433/39649827110400000000　　596762934176757576209/635718894670080000000　　2098157146254959366777509639/1688977959359468544000000000　　14062585980252142453129239257/8444889796797342720000000000　　3127534025901397259312263980851/1386126739060529356800000000000

上式中，R 是圆曲线的曲率半径。它是有正负号的，具体取法请参考前文；是缓和曲线长度，注意它也是有正负号的：顺着前进方向为正，逆着前进方向为负。现举例说明，如下图所示

以ZH点为原点的坐标系是测量坐标系，将根据 HY 点计算C。从 ZH 至 HY（桩号增加的方向）右转，因此HY处的曲率半径 R 取正值。HY 点的桩号比 ZH 点的桩号大，所以 Ls 也取正值。最终 C 为正值。

以HZ点为原点的坐标系是数学坐标系，将根据 YH 点计算C。从 YH 至 HZ（桩号增加的方向）右转，因此YH处的曲率半径 R 取负值。YH 点的桩号比 HZ 点的桩号小，所以 Ls 也取负值。最终 C 为正值。

注意：使用上述规则时，要求x 轴必须是切线，而且其正方向是桩号增加的方向。

更为一般的计算公式为：

上式中：是三次抛物线上任意一点的曲率半径，是该点的桩号减去曲率为零点的桩号。

坐标 x 按下式计算

更高次项的系数，请见下表

1　　-1/40　　23/5760　　-2773/2995200　　2066579/8146944000　　-224209943/2932899840000　　28747533091/1173159936000000　　-261175434475093/31844253302784000000　　86647036511116753/30570483170672640000000　　-2316511336548771758119/2307460069722370867200000000　　35677500215657115786212861/98390097372961893777408000000000

坐标y 按下式计算

更高次项的系数，请见下表

1/6　　-1/80　　133/57600　　-16933/29952000　　23345441/146644992000　　-95319797/1955266560000　　13001597946211/823558275072000000　　-1694382133343581/318442533027840000000　　9603494098034819239/5196982139014348800000000

曲率按下式计算：

更高次项的系数，请见下表

1　　-2/5　　121/720　　-3337/46800　　1932763/63648000　　-579833/44752500　　1585042411/286416000000　　-9194722916339/3887237952000000　　943636378388861/932937108480000000　　-1904209296741873383/4401130809254400000000　　69481023021498242079629/375328435413215232000000000　　-11534698506084794283343/145601548220643840000000000　　16035089603343026034099263/472913828620651192320000000000

曲率半径等于曲率的倒数

切线角按下式计算：

更高次项的系数，请见下表

1/2　　-1/15　　121/7200　　-3337/655200　　1932763/1145664000　　-579833/984555000　　1585042411/7446816000000　　-9194722916339/116617138560000000　　943636378388861/31719861688320000000　　-1904209296741873383/167242970751667200000000　　69481023021498242079629/15763794287355039744000000000　　-11534698506084794283343/6697671218149616640000000000　　16035089603343026034099263/23645691431032559616000000000000

最大切线角按下式计算

更高次项的系数，请见下表

1/2　　2/15　　167/1800　　46351/546000　　25385099/286416000　　5252428289/52509600000　　3982854295663/33510672000000　　4270501632677849/29154284640000000　　7356042227375864101/39649827110400000000　　11595993887859194946607/48314635994926080000000　　1866776187030795889021687763/5911422857758139904000000000　　233123111824877589842938537/553368847083586560000000000　　114262828881514570894054876308869　　/200988377163776756736000000000000

弦长按下式计算

更高次项的系数，请见下表

1　　-1/90　　7/3240　　-1021/1895400　　-103137467/148478054400　　1824489697/267260497920000　　1962656897729/320712597504000000　　172597317854624597/17410845493297152000000　　12570996329063196101/12535808755173949440000000　　-84559611892561668247007/73412289685903166668800000000　　986086453888432129684636273/2402965612958834641128652800000000

弦切角按下式计算：

更高次项的系数，请见下表

1/6　　-4/405　　329/194400　　-279619937/50948352000　　49981690783/400890746880000　　-10875344672639/352783857254400000　　112198229967587/11545653510144000000　　-142446483534146625839/18803713132760924160000000　　52613217024783269917249/38359574790832285286400000000　　3424580749757991824764543627/15532865900902135616451379200000000　　-1413931320131094500306391029838659/32941774994930072328304475504640000000000

最大弦切角按下式计算

更高次项的系数，请见下表

1/6　　23/405　　2033/48600　　1740762847/50948352000　　10960255204399/400890746880000　　6772270615585369/352783857254400000　　1193239078444885151/150093495631872000000　　-161805233310981385370591/18803713132760924160000000　　-1286980164945796856981760287/38359574790832285286400000000　　-72056068243648037753159483098122901/1009636283558638815069339648000000000　　-4238353071056815709683515980381542179491/32941774994930072328304475504640000000000　　-562636180723418426132797552941934630463/2614426586899212089547974246400000000000　　-232168897210836372569220251035298614709587903/672012209896573475497411300294656000000000000

更高次项的系数，请见下表

0　　1/24　　-19/1920　　-9139/691200　　-3240559/159744000　　-282589603597/8798699520000　　-7026310366847/140779192320000　　-19235406274658191/253402546176000000　　-1157743059288068176933/10190161056890880000000　　-31472972322721395868013113/187091357004516556800000000　　-593565174736535737082257554883/2399758472511265701888000000000　　-2404682875032206089252747022332201/6641331572674927829975040000000000　　-1872334767018224961225647555546981/3542043505426628175986688000000000

更高次项的系数，请见下表

1/2　　-11/80　　-5321/57600　　-52487/7488000　　18677834707/146644992000　　3188362247677/9776332800000　　169430712200037851/274519425024000000　　332286113603292440329/318442533027840000000　　8671309730283052493037077/5196982139014348800000000　　912479043985584874133797609/352905657722244956160000000　　696256490101343458284600171876781/177102175271331408799334400000000　　13074672153106612908209529164613637/2213777190891642609991680000000000　　463819829160454637226871854554498260583/52687897143221094117801984000000000000