矩形

矩形（rectangle），也叫长方形^[1]，是一种平面图形^[2]，是指有一个内角是直角的平行四边形，矩形的两条邻边中，长边称为矩形的长，短边称为矩形的宽^[3]。正方形是特殊的矩形^[4]。

矩形是一种特殊的平行四边形^[5]，它除了具有平行四边形的一切性质外^[1]，还具有其他的一些性质：四个角相等，且都是直角；两条对角线相等；每条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形^[4]；矩形是中心对称图形^[4]，也是轴对称图形，对称轴是对边中点所在的直线，有两条对称轴^[6]；有一个外接圆，矩形两对角线都是外接圆的直径^[4]。矩形的判定方法有定义法和定理法^[1]。

矩形四条边的总长度叫作矩形的周长。若长为a，宽为b，周长用大写字母C表示，则矩形的周长为：C=2(a+b)。矩形的面积计算公式为：矩形的面积=长×宽，即S=ab^[4]。

至少有三个内角都是直角的四边形是矩形，矩形包含长方形和正方形。

由于矩形是特殊的平行四边形，故包含平行四边形的性质；矩形又可分为长方形和正方形，故包含长方形和正方形的一些共有的性质。矩形的性质大致总结如下：

（1）矩形具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分；

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线相等；

（4）长方形有2条对称轴，正方形有4条；

（5）具有不稳定性（易变形）。

矩形的常见判定方法如下：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

（4）定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。

（5）对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

面积：(注:a为长，b为宽)

周长：(注:a为长，b为宽)

宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。

黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。

"矩形必须一组对边与x轴平行，另一组对边与y轴平行。不满足此条件的几何学矩形在计算机图形学上视作一般四边形。"

例1：如下图，已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB是等边三角形，．求这个平行四边形的面积。

分析：首先根据是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积。

例2：已知：如下图，在ABCD中，M为BC中点，.求证：四边形ABCD是矩形。

分析：根据定义去证明一个角是直角，由即可实现。

证明：

因为平行四边形ABCD

故：

故：

因为M是BC中点

故：

因为

故：

故：

故：

故：四边形ABCD是矩形（有一个内角为90度的平行四边形是矩形）

例3：已知：如下图，ABCD的四个内角平分线相交于点E，F，G，H．求证：。

分析：要证的EG，FH为四边形EFGH的对角线，因此只需证明四边形EFGH为矩形，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明。

例4：已知：如下图，在中，，CD为中线，延长CD到点E，使得，连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形。