狄利克雷级数

狄利克雷级数又称指数级数，即形如 (1)的级数，简记为，式中αn是复常数；；s=σ+it；σ及t是实变数。若(1)收敛，则记其和为ƒ(s)。当λn=n时，级数是e-s的幂级数，其性质可由幂级数的性质推出，由此启示人们研究一般指数级数的性质。狄利克雷级数在解析数论中有重要的地位。黎曼ζ函数和狄利克雷L函数都可以用狄利克雷级数来定义。有猜测所有的狄利克雷级数组成塞尔伯格类函数都满足广义黎曼猜想。

又称指数级数，即形如

(1)

的级数，简记为，式中是复常数；；；σ及t是实变数。若(1)收敛，则记其和为ƒ(s)。当时，级数(1)是e-s的幂级数，其性质可由幂级数的性质推出，由此启示人们研究一般指数级数的性质。当时，级数(1)成为这是P.G.L.狄利克雷在解析数论中引用的重要级数；在的最简单的情形，它称为黎曼 ζ函数。此外，把狄利克雷级数推广到积分的情形就是拉普拉斯变换，因此两者有很多类似之处。

收敛性 　对一般指数级数有阿贝尔型的定理：设级数(1)在一点s0收敛，则它在任何角域()中一致收敛。这样，如级数(1)在一点收敛(绝对收敛)，则它在任何点收敛(绝对收敛)。于是级数(1)属于下列三种情况之一：①存在着有限数,级数在半平面内收敛(绝对收敛),在半平面内发散(不绝对收敛)。这时称为级数 (1)的收敛横坐标(绝对收敛横坐标),称为收敛半平面（绝对收敛半平面）,称为收敛轴（绝对收敛轴）。②对任何,级数发散（不绝对收敛）,这时称级数(1)的收敛（或绝对收敛）横坐标为+。③对任何,级数收敛（绝对收敛）,这时称级数(1)的收敛（绝对收敛）横坐标为。对级数 (1)还可引进一致收敛横坐标的概念。级数(1)的一致收敛横坐标是

这几个收敛横坐标有如下关系：。当时，，但这在一般情形下不成立，例如对于

对于级数(1)的各种收敛坐标，有柯西－阿达马公式的推广，如，设

且令

如,则令。于是

关于收敛横坐标还有一个简单的不等式：

解析性 　根据阿贝尔型定理以及外尔斯特拉斯定理，在上述情况①下,ƒ(s)在内解析；在情况③下,ƒ(s)为一整函数。可是反之，并非任何整函数或在半平面内的解析函数都可表示为指数级数。Α.Ф.列昂季耶夫不限于考虑｛λn｝是正数序列的级数(1)。他证明了：任何整函数可写成三个式 (1)型级数的和，而在每一级数中，在从原点出发的一条射线上。对于无穷或有界凸区域内解析的函数，也有类似结果。

系数的表示和估计 　如，那么对于，式中是任一实数。由此可得柯西不等式的推广：

(2)

这里

(2)有种种推广，特别是对渐近指数级数的推广，可用来解决一些分析中的重要问题，如加权逼近问题、矩量问题的惟一性以及准解析函数问题等。

关于幂级数的奇异点、增长性、值的分布以及求和法等方面许多结果，都可推广到指数级数。

参考书目

S. Mandelbrojt,Séries de Dirichlet, Gauthier-Villars,Paris, 1969.

S.Mandelbrojt,Séries Adhérentes etc.,Gauthier-Villars,Paris, 1952.