永续年金

永续年金（perpetuity），也叫统一公债（consols），在加拿大和英国这种叫法尤其普遍^[1]。永续年金是指无限期的收入或支出相等金额的年金，也称永久年金。它也是普通年金的一种特殊形式，由于永续年金的期限趋于无限，没有终止时间，因而也没有终值，只有现值^[2]。现实中优先股的股息、英国政府发行的统一公债所产生的利息、某些可永久发挥作用的无形资产（如商誉）等均属于永续年金。其现值为：每期支付的现金流金额与投资者所要求的收益率的比值^[3]。

永续年金也指无限期收付的等额序列现金流量，例如，政府或企业发行的永久债券，一般不规定还本日期，但按期支付等额利息；团体或个人设立的永久性按期支付奖励基金，在投资收益率保持不变的前提下，每期支付奖金^[4]。

永续年金计算公式需要满足：每次支付金额相同且皆为（amount of payment）；支付周期（每次支付的时间间隔）相同（如：年、季、月等）；每段支付间隔的利率相同且皆为（interest rate，根据周期不同，可以为年利率、月利率等）。则永续年金的现值（present value）计算公式为：如果每个期间的期末支付，；如果每个期间的期初支付，^[5]。

由于永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值，只有现值。永续年金可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。

如果满足以下条件：

1. 每次支付金额相同且皆为A（Amount of Payment）

2. 支付周期（每次支付的时间间隔）相同（如：年、季、月等）

3. 每段支付间隔的利率相同且皆为i（Interest Rate，根据周期不同，可以为年利率、月利率等）

则永续年金的现值PV（Present Value）计算公式为：

a. 如果每个期间的期末支付，PV = A/i

b. 如果每个期间的期初支付，PV = （1+i）*A/i

例：某人在大学里成立一个慈善基金，本金不动买入年息5%的长期国债，每年年底的利息10万用作学生们的奖学金。此基金的需要存入的本金为P=10万/5%=200万，这也是永续年金的年金现值。

如果要求在期初支付，则年金现值P=A+A/i=200万+10万=210万。

在计算永续年金现值时，可以根据支付时点的不同采用不同的计算方式。如果支付时点为每期期初，则现值的计算公式为：

{\displaystyle {\frac {PMT\times (1+k\%)}{k\%}}=p_{0}}

如果支付时点为每期期末，则现值的计算公式为：

{\displaystyle {\frac {PMT}{k\%}}=p_{0}}

其中，PMT代表定额现金流量，k代表期利率。这两种计算方式提供了在不同支付时点下，评估永续年金现值的方法。