正规子群

正规子群（英文：Normal subgroup），亦称不变子群，是一类在共轭作用下不变的重要子群。设H是群G的一个子群，若对于任意的x∈G，有Hx=xH，则称H是G的一个正规子群。^[2]

正规子群是群论中的一个重要概念，它的研究和发展历史与群论的发展紧密相关。法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）为解决五次以上方程的根提出了“置换群”的概念，奠定了现代群论的基础。1831年，伽罗瓦研究置换群时发现了左陪集和右陪集的分解，对于左陪集等于右陪集的情况，他称为真分解，现在称为正规子群。19世纪中叶，阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）首先给出了群的公理化定义。^{[3][4][9][10][11]}到了20世纪，正规子群发展出多个推广的概念。比如，1962年，Gaschütz引入了CAP—子群（亦称覆盖-远离子群）的概念。1996年，王燕鸣引入了正规概念的另一种推广c#—正规子群的概念。^{[12][13][14][5]}

正规子群具有不传递性，且正规子群与同余一一对应。正规子群中有平凡正规子群、极大正规子群和极小正规子群等类。^[15][16][17]正规子群在数学、机器人和物理学等领域有着广泛的应用，如在机器人运动的约束中，两个通过低副机构相连的物体的运动是欧氏群的正规子群。^[6][7][8]学者张霞和赵显贵主编的《近世代数基础》中评价，正规子群可能是群论中最具影响力的创新思想之一，I.N.Herstein评价正规子群是对伽罗瓦天赋的致敬，他意识到左右陪集相等的子群是与众不同的。^[1]

子群是群的特殊的非空子集，正规子群，亦称不变子群，是一类在共轭作用下不变的重要子群。^[2]设是群的一个子群，若对任意的有，则称是的一个正规子群，记为^[2]此时左陪集和右陪集简称为陪集。^[18]

设是群的子群，则是的正规子群的充分必要条件是：对任意都有^[18]

正规子群的判定方法如下：

（1）对任意的都有

（2）对任意的都有

（3）对任意的都有

（4）对任意的都有^[1]

正规子群有以下性质：

平凡子群属于正规子群，即两个平凡子群和是的正规子群；^[18]正规子群不具有传递性；^[17]一个群的正规子群与同余是一一对应的；^[17]如果群是一个交换群，那么它的每个子群都是正规子群，反之则不必然：每个子群都是正规子群的群未必是交换群。^[17]

正规子群是群论中的一个重要概念，它的研究和发展历史与群论的发展紧密相关。法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）为解决五次以上方程的根提出了“置换群”的概念，奠定了现代群论的基础。^[4][10][11]1831年，伽罗瓦研究置换群时发现了左陪集和右陪集的分解，对于左陪集等于右陪集的情况，他称为真分解，现在称为正规子群。^[9]而且伽罗瓦利用根的置换群的正规子群，以及由正规子群确定的商群的思想证明了多项式方程的可解性问题。^[1]19世纪中叶，阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）首先给出了群的公理化定义。^[3]到了20世纪，正规子群发展了多个推广的概念。比如，1962年，Gaschütz引入了CAP—子群（亦称覆盖－远离子群）的概念。1996年，王燕鸣引入了正规概念的另一种推广—ｃ＃正规子群的概念。^{[12][13][14][5]}

一个任意群和是的两个正规子群，称为的平凡正规子群。^[15][19]

极小正规子群是一种特殊的正规子群，指群的非平凡正规子群中的极小者。^[16]

极大正规子群是一种特殊的正规子群，指群的非平凡正规子群中的极大者。群的一个正规子群称为的极大正规子群，若满足条件：^[16]

1.

2.若是的一个正规子群，则有或者

类似地，群的一个正规子群称为的极小正规子群，若满足条件：

1.

2.若是的一个正规子群，则有或

最大的正规子群常记为最大的由元素组成的正规子群常记为它们分别称为极大正规子群和极大正规子群。^[16]

正规闭包是一种特殊的正规子群，群中包含某个子集的最小正规子群。^[20]

设是群，是的非空子集，称为在中的正规闭包，是的包含的最小的正规子群。^[20]

群的子集的核，简称核，是一种特殊的正规子群，含于子集中群的最大的正规子群。^[21]

设是群的子集，的含于中的诸正规子群生成的子群称为的核，记为.^[21]

若不含的正规子群，则规定特别当为的子群时，^[21]

特征子群是一类特殊的正规子群，指在群的自同构作用下不变的子群。^[22]

设是群的一个子群，若在群的任意一个自同构作用下不变，即对任意的，则称是的特征子群，常记为又若在的任一自同态下的像仍属于，则称为的全不变子群。全不变子群是特征子群，特征子群是正规子群；但反之不一定对。例如，群的中心是的特征子群，但通常不是的全不变子群。^[22]

设为的模糊子群，若对任意的则称为的一个模糊正规子群。为的一个模糊正规子群的充分必要条件是对任意的^[23]

第一同构定理是群论的基本定理之一，应用同态基本定理得到的一个重要的同构定理。^[24]

设是群到群的一个满同态，是的一个正规子群。若（在中的原像），则且此即群的第一同构定理。^[24]

第二同构定理是群论的基本定理之一，应用第一同构定理得到的一个用途更广的同构定理。^[25]

若是群的正规子群，是的子群，则是群的含的子群，是的正规子群，且在映射下，此即群的第二同构定理。^[25]

第三同构定理是群论的基本定理之一。^[26]

若是群的正规子群，此即群的第三同构定理。^[26]

同态基本定理，有关同态映射的定理，是群论的基本定理之一。^[27]

若是群到群的一个满同态，则的同态核是的正规子群.并且从到有唯一的同构映射，使得其中是从到上的自然同态。^[27]

拟正规子群是一类特殊子群，即与群的任一子群可换的子群。正规子群必为拟正规子群，但反之不成立。^[28]

商群亦称因子群，又称模的剩余类群，是由正规子群的陪集组成的一种群。^[29]

设是群的一个正规子群，关于的所有左陪集所成的集合按照如下的乘法：成为一个群，称为关于的商群。由于是正规子群，所以也是的右陪集所成的集合，因此，无论用左陪集还是右陪集来定义商群，结果是一致的。当是加法群时，也常写成称为差群。^[29]

自然同态亦称标准同态或典范同态，群到其商群上的一种特殊同态。^[30]

若是群的一个正规子群，则存在到商群上的一个映射这个映射是到的满同态，称为自然同态，其中^[30]

单群是指不含非平凡正规子群的群。若群且除及本身外不再含其他的正规子群，则称为单群。若此时还是有限群，则称为有限单群。有限单群的例子有：素数阶群，交错群^[2]

交换群是一种重要的群类，因阿贝尔(Abel,N.H.)首先研究了交换群，所以通常称这类群为阿贝尔群。对于群中任意二元一般地，若群的运算满足交换律，即对任意的都有则称为交换群。交换群的运算常用加法来表示，此时群的单位元用(零元)表示，的逆元记为用加法表示的交换群称为加法群或加群。^[31]

哈密顿群是一类非交换群。若不是交换群，的每个子群都是正规子群，则称为哈密顿群。哈密顿群是四元数群、每个元素的阶都是奇数的交换群以及方次数为的交换群这三个群的直积。其中四元数群

一般地，若一个群的任何子群都是正规子群，称为戴德金群。^[32]

设为实三维欧氏空间，寻找上保持任意两点之间距离不变的变换即称为等距变换。所有这些变换形成一个集合.若定义集合中的乘法为相继进行等距变换，则容易证明是一个群，称为三维空间中的欧几里得群。^[33]

在的元素中最简单的群元是平移即在作用下，中每一点移动所有的平移算符构成的一个子群称为平移群。因为因此平移群是交换群，显然^[33]

在教学实践中，只通过定义来求或是的子群的正规子群很困难。有一种常用的求解方法是：^[34]

确定整数的划分；找到每种划分对应的元素的型，从而确定对称群的共轭类；利用对称群的共轭类对对称群子群大致分类，再细化分类；由于单位元和一些共轭类的并集构成的群是正规子群，所以利用拉格朗日定理，大致给出可能的共轭类的并集。然后再验证是否是群；

例：求的正规子群。

解：易知中有24个元素，假设是的正规子群，由拉格朗日定理可知，的阶数是24的因子，下面来确定的共轭类。数字4有以下5种划分：

（a）对应置换的型函数是对应共轭类的代表元是共轭类中有1个元素；

（b）对应置换的型函数是对应共轭类的代表元是共轭类中有6个元素；

（c）对应置换的型函数是对应共轭类的代表元是共轭类中有3个元素；

（d）对应置换的型函数是对应共轭类的代表元是共轭类中有8个元素；

（e）对应置换的型函数是对应共轭类的代表元是共轭类中有6个元素；

显然，单位元群和是的平凡的正规子群。（a），（c）和（d）的并集恰好是4次交错群因而是的正规子群。根据拉格朗日定理，的另一种可能性是（a）和（d）的并集，即：可以验证这是一个同构于的交换群。故其为的一个非平凡的正规子群。^[34]

定义：设是群的一个广义模糊子群，且若满足则称为的广义模糊正规子群。^[35]

定理：设为的模糊子集，则为的模糊子群，当且仅当非空集为的子群。^[35]

设为的广义模糊子群，且则为广义模糊正规子群，当且仅当非空集为的正规子群。^[35]

证明：由定理可知及是的子群，又因为所以于是是的子群。

故是的正规子群。^[35]

假设使得

选取满足

则且

即因为为的正规子群，

所以矛盾，

所以.故为广义模糊正规子群。^[35]

凯莱图中完备码问题在一些实际问题中有着重要的应用，例如在并行计算路线问题的设计和一些特殊的网络传输系统（圆环、环面以及超立方体等）的设计中。而学者张星等人从群论角度给出了子群可作为完备码的充要条件，得出奇数阶群的正规子群，奇数阶的以及指数为奇数的正规子群均可作为凯莱图的完备码。^[6]

设是一个有限群，是群的一个正规子群，则是的凯莱图的完备码。当且仅当对每个且

存在某个使得成立。 因此，奇数阶的正规子群可作为完备码；

设是一个群且是群的一个正规子群。满足条件当且仅当包含了的所有的Sylow2-子群。一个正规子群包含所有的Sylow2-子群当且仅当它在群中的指数是奇数。因此，指数为奇数的正规子群可作为凯莱图的完备码。^[6]

在机器人领域，群论最初主要应用在机器人运动学的研究中，随着研究的进一步深入，机器人的装配标定和控制等都用到群论中正规子群的相关概念；机器人的位置无论是用矢量表示还是用旋量表示，或以四元数、双四元数等其他形式表示，其运动变换可以看作是群的运算。除运动变换外，群还可以用来表示机器人运动的约束，其中两个通过低副机构相连的物体的运动是欧氏群的正规子群。^[7]

群论是数学中的一个高度抽象的分支，具有较强的概括性，用它来描述刚体运动简洁明了。刚体运动群中的元素是而且只能是平移与旋转，刚体也可以看作螺旋运动，但螺旋运动是由旋转与平移合成的。刚体两平移之积为一平移，即且一平移之逆仍为一平移故一切平移之集合又是刚体运动群的一个子群。另外，因为

故平移群又是交换群，即：平移群是位移群的正规子群，因之，是刚体运动群的正规子群。^[8]