模糊数学

模糊数学（英文名：Fuzzy Mathematics）是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学学科^[9]。模糊数学建立在集合论的基础上^[2]，其目标是效仿人脑的模糊思维，为解决各种实际问题（特别是有人干预的复杂系统的处理问题）提供有效的思路和方法^[11]。

模糊数学的核心是模糊集合，因而也被称为“模糊集理论”^[11]。模糊数学诞生于1965年，它的创始人是美国自动控制专家扎德（L. A. Zadeh），他在第一篇论文《模糊集合（Fuzzy set）》中，引入了“隶属函数”这个概念，来描述差异的中间过渡，首次运用数学方法描述模糊概念^[2]。后来，他于1968年、1970年、1971年相继提出了模糊算法、模糊决策、模糊排序的概念^[4]。1973年，扎德发表了另一篇开创性文章《分析复杂系统和决策过程的新方法纲要》，建立了研究模糊控制的基础理论^[4][12]。1984年，国际模糊系统协会（International Fuzzy Systems Association，简称IFSA）成立，并于次年举办了第一次会议^[13][14]。1992年2月，首届IEEE模糊系统国际会议在圣地亚哥召开，标志着模糊数学理论已被世界上最大的工程师协会IEEE所接受^[4][12]。此后，一些新概念、新分支相继诞生，在传统方向和分支上也取得了可喜进展，模糊数学理论体系更加丰富^[12]。2000年以后，模糊数学在中国迅速发展，2005年，中国刘应明院士被国际模糊系统协会（IFSA）授予“Fuzzy Fellow奖”，该奖项是模糊数学领域的最高奖项^[15][16]。

从纯数学角度看，集合概念的扩充使许多数学分支都增添了新的内容，模糊数学也形成了如模糊集合论^[10]、模糊聚类分析^[1]、模糊概率^[10]、模糊语言和模糊逻辑^[1]、模糊测度和模糊积分^[1]、模糊线性规划^[1]、模糊控制论^[1]、模糊拓扑学^[1]、模糊模式识别^[10]等众多研究方向^[17]。模糊数学理论与成果在其他领域中应用广泛，如在地理学中，运用模糊数学理论建立气候要素的隶属函数，并进行农业气候适宜度分析，为农牧业生产提供科学依据^[18]。

模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性”的现象的新兴数学分支^[2][9]，它属于应用数学的范畴，其发展跟计算机数学、系统工程和人工智能息息相关^[19]。

模糊数学是建立在集合论的基础上的^[2]，其目标是效仿人脑的模糊思维，为解决各种实际问题（特别是有人干预的复杂系统的处理问题）提供有效的思路和方法^[11]。模糊数学引入了“隶属函数”这个概念，来描述差异的中间过渡，这是精确性对模糊性的一种逼近^[2]，其概念是从普通数学也就是精确数学的概念推导出来的，从模糊数学的研究和应用的方法来说，使用的完全是普通数学的方法，因此模糊数学只是精确数学的延伸和推广^[19]。

对模糊性的讨论，可以追溯至20世纪初，哲学家罗素（B. Russel）在1923年一篇题为《含糊性》的论文里专门论述过“模糊性”的问题^[12]。后来，计算机的问世为科学技术带来一场革命性变化，也促使人们对人脑与机器进行比较研究。计算机的缺点是不像人脑思维那样灵活、敏捷地处理模糊信息，究其原因，它是基于二值逻辑的，与之相适应的是康托尔（Cantor）集合论^[12]。美国自动控制专家扎德（L. A. Zadeh）深刻地认识到这一点，于1965年发表了名为《模糊集合》的一篇论文，创造性地提出模糊集合的概念，标志着模糊数学的诞生^[2][12]。扎德引入了“隶属函数”这个概念，来描述差异的中间过渡，这是精确性对模糊性的一种逼近，因而他首次成功地运用了数学方法描述模糊概念，形成了具有开创性意义的工作^[2]。后来，他于1968年、1970年、1971年相继提出了模糊算法、模糊决策、模糊排序的概念^[4]。

20世纪70年代到90年代，模糊数学逐步确立了其在科学技术领域的一席之地。1973年，扎德发表了另一篇开创性文章《分析复杂系统和决策过程的新方法纲要》，该文建立了研究模糊控制的基础理论，在引入语言变量这一概念的基础上，提出了用模糊IF-THEN规则来量化人类知识^[12][4]。1975年，马姆达尼（Mamdani）和阿西利安（Assilian）创立了模糊控制器的基本框架，并将模糊控制器用于控制蒸汽机，其研究成果《带有模糊逻辑控制器的语言合成实验》是关于模糊理论的另一篇具有开创性的文章^[20][21]。1980年，日本学者菅野道夫（Sugeno）开创了日本的首次模糊数学的应用——控制一家富士电子水净化工厂，1983年他又开始研究模糊机器人，这种机器人能够根据呼唤命令来自动控制汽车的停放。1987年，来自日立公司的安信（Yasunobu）和宫本（Miyamoto）给仙台地铁开发完成了模糊系统，使仙台地铁成为当时最先进的地铁系统^[12][4]。

1984年，国际模糊系统协会（International Fuzzy Systems Association，简称IFSA）成立，并于次年举办了第一次会议^[13][14]。1987年，国防科技大学创办了《模糊系统与数学》杂志，中国已经成为模糊数学研究的四大中心（美国、欧洲、日本、中国）之一^[12][22]。1992年2月，首届IEEE模糊系统国际会议在圣地亚哥召开，标志着模糊理论已被世界上最大的工程师协会——IEEE所接受，1993年，IEEE创办了模糊系统会刊^[4][23]。此后一些新概念、新分支相继提出，在传统方向和分支上也相继取得可喜进展，模糊数学理论体系更加丰富，格值模糊集、区间值模糊集、直觉模糊集、二型模糊集等得到深入研究，模糊拓扑学、模糊测度与模糊积分、模糊自动机理论、模糊优化、模糊数据库理论、模糊图论、模糊认知图、模糊神经网络、模糊支撑向量机及模糊集的公理化等诸多方向有了长足进步，模糊集理论与概率论、粗糙集理论等相结合，在智能信息处理的诸多方面发挥着越来越广泛而重要的作用^[12]。

2000年以后，模糊数学在中国迅速发展。2005年，中国刘应明院士被国际模糊系统协会（IFSA）授予“Fuzzy Fellow奖”^[24][16]，“Fuzzy Fellow奖”是模糊数学领域的最高奖项，专门授予得到国际公认的、在模糊数学领域做出杰出贡献的科学家^[15]。2005年8月，中国运筹学会模糊信息与工程分会在中国科学技术协会的批准下成立，标志着模糊数学的研究取得了阶段性的进展，为模糊集理论及其应用在中国的发展起到巨大的推动作用^[25]。

在数学上，概念的外延可以通过“集合”来表达，然而，日常生活中涉及的众多的概念常有内涵的“模糊性”，这必然导致外延的“不清晰性”^[26]。例如对于“长、短”、“年轻、年老”这些概念，都不存在明确的边界，中间经历了一个量变到质变的连续过渡过程，然而“经典集合”必定是清晰的，所以不能用经典集合理论去刻画模糊概念的外延，故而扎德（L. A. Zadeh）提出了模糊集的概念^[10][19]。扎德将普通集合论里特征函数的取值范围由推广到闭区间，于是便得到模糊集的定义^[10]。

模糊集：设在论域上给定一个映射

，

则称为上的模糊（Fuzzy）集，称为的隶属函数（或称为对的隶属度）。为简便计，“模糊（Fuzzy）”记为“”，即“模糊集”写为“集”^[10]。

根据以上定义知，模糊集合实质上是论域到的一个映射，叫“模糊子集”更合理。经典集合可用特征函数完全刻画，因而经典集合可看成模糊集的特例（即隶属函数只取两个值的模糊集）^[19][12]。而对于模糊子集的运算，实际上可以转换为对隶属函数的运算，隶属函数是刻画模糊集合最基本的概念，合理地构造隶属函数是模糊数学应用的关键^[12]。

对事物按一定要求进行分类的数学方法，叫做聚类分析^[10]。模糊聚类分析是利用事物之间存在的模糊关系将事物进行动态分类的一种数学方法^[1]。设有个不同的事物，记为，若已知上的模糊等价关系为，则相应于不同的水平，由等价关系(的水平集）可使分为不同的类。越小，分类越粗；越大，分类越细。由于分类是随水平动态的，就可以选择恰当的使得分类效果达到最佳^[1]。

聚类方法：直接建立上的模糊等价关系往往是比较困难的，一般先不考虑传递性，建立上的一个模糊相似关系，然后再求它的传递闭包，即得一个模糊等价关系，并利用所得的模糊等价关系进行分类。这种方法称为传递闭包法。基于模糊关系进行模糊聚类的具体方法，还有最大树聚类法和编网聚类法^[1]。

概率是表示事件随机出现的统计规律，随机事件发生或不发生是不确定的，但是一旦发生后，事件却是明确的，而模糊数学所研究的对象，就是本身也不分明的模糊事件。扎德对于可能性的研究中阐明了模糊数学跟概率论的不同，使模糊数学作为独立的一门数学分支的重要意义更加明确，他进一步把模糊数学和概率论联系起来，发展成模糊概率这一新的分支^[19][10]。模糊与概率的关系分为三种：事件本身是模糊的，而概率值是普通数值，称为模糊事件的概率；事件本身明确但概率是模糊的，称为事件的模糊概率；事件和概率都是模糊的，称为模糊事件的模糊概率^[10]。

模糊事件的概率：在概率空间上的模糊事件的概率定义为

，

这里的积分是勒贝格积分，它存在则要求可测。若和是实数域上的可积函数，则模糊事件的概率计算可表示如下：

，

其中为概率密度函数。若是有限集，，，则有

^[10][27]。

模糊语言是以模糊集合论为工具对自然语言的一种数学描述，模糊语言是用四元组表示的系统，这里^[1]

（1）是论域，即对象、作用、关系、概念的集合；

（2）是表现中模糊子集名称的言词、单词或本语的模糊子集，称为是术语集合；

（3）是的嵌入集，是符号及其组合的汇集。术语是由它得出的，即是上的模糊子集；

（4）是命名关系，它是上的模糊关系^[10][1]。

构造模糊语言是，其中是论域；是对于术语集合的嵌入集合；是的语法规则所组成的集合，是为计算中隶属函数提供算法的；是的语义规则所组成的集合，是为计算命名关系的隶属函数提供算法的^[1]。

模糊逻辑是一类非经典逻辑，是在模糊集理论上发展起来的推理理论^[1]。模糊逻辑的基础是模糊命题，它比二值逻辑里的命题更能符合人脑的思维。1965年扎德发表了模糊集合的论文以后，第二年就有人作了关于数理逻辑模糊化的内部报告，1974年以后，由于模糊控制论的诞生，模糊逻辑得到了飞速的发展。它的主要特点，除了命题不是取绝对的真假值外，还有就是推理的“似然”性，即推理不是确切的^[19]。

模糊测度是一种特殊的非可加测度，由菅野道夫（Sugeno. M）于1974年提出，它的研究是与具有主观性复杂系统的评价问题紧密相关的。模糊测度区别于经典测度的本质特征是以“单调性”代替经典测度的“可加性”，是经典测度的推广^[28]。目前，也有人将建立在模糊子集族构成的代数上的测度称为模糊测度^[1]。

定义：设某一集合，的子集合、等与区间的值相对应，当函数具有以下性质时，称为模糊测度：

（1）有界性：，；

（2）单调性：如果，则；

（3）连续性：如果或者，则^[29]。

以模糊测度为基础建立的积分称为模糊积分，是一种区别于勒贝格积分的非可加积分^[10][28]。模糊积分是由菅野道夫于1972年提出的^[1]。

定义：设是可测空间，是模糊测度，，函数是可测的，则关于模糊测度在集合上的模糊积分定义为

^[1]。

模糊线性规划是经典线性规划的一种推广^[1]，经典规划问题的目标函数和约束条件都是明确的，但是，在实际问题中常常碰到模糊的目标函数和约束条件，故模糊的规划问题被提出^[10]。模糊规划是将线性约束的边界模糊化，从而使人们能在较宽松的条件下求得优化的条件与优化的极值^[1]。

模糊线性规划问题：实值函数在论域的一个模糊子集上的极值问题，称为模糊规划问题^[2]。对于通常的线性规划问题，即在约束条件下，求目标函数的极值。考虑约束条件的软化，这里“”表示对“”的一种放宽，并确定它的隶属函数为：

，

这即是模糊线性规划问题^[1]。

模糊控制论是模糊数学的一部分，它诞生于1974年，创始人是英国工程师马丹尼（Mamdani），他首先把模糊数学用在蒸汽机和锅炉控制方面的研究，并且发表了模糊控制论方面的第一篇论文^[19][2]。模糊控制论是在控制方法上应用了模糊数学的知识，但却是确定性的工作，它不仅能够成功地实现控制，而且能够模拟人的思维方法对一些无法构造数学模型的问题进行控制^[2]。

数学模型：设为上的个模糊集，称为观测量；为上的个模糊集，称为控制量。根据人的经验，有，于是得到上的模糊关系（作为模糊控制器）

。

任给一个观测结果，是上的模糊集，作为输入，则由

即得输出，即模糊控制量^[1]。

基本方法：模糊控制理论以模糊数学为基础，以模糊集合、模糊关系、模糊推理来模仿人的思维来判断综合推理，处理和解决常规方法难以解决的问题，模糊控制的基本原理可用下图表示^[30]：

设计模糊控制器时，一般先要将系统的输入变量偏差、偏差变化率进行模糊量化处理，把系统输入变量偏差及偏差变化率的实际变化范围称为这些变量的基本论域。然后使用模糊控制规则如得出量化论域上的模糊集，但被控对象只能接受精确值的控制量，这就需要进行输出信息的模糊判别，也就是要把模糊量转化为精确量，常用的模糊判别方式有：最大隶属度法、加权平均法、中位数法等^[30]。

模糊拓扑学是模糊数学理论中发展最迅速，成果最丰富的分支之一。模糊拓扑空间是通常拓扑空间的推广，指具有由模糊子集族构成的拓扑结构的空间^[27][1]。模糊拓扑空间这一概念是由张（C. L. Chang）在1968年给出的，1976年洛温（R. Lowen）又提出了模糊拓扑空间的另一种更强一些的定义^[31]。

模糊拓扑空间：设是非空集上的一族模糊子集，称是上的模糊拓扑，若满足^[31][32]：

（1）对任何，；

（2）对任何，有；

（3）对任何，有，

此时称为模糊拓扑空间，也可以简称是模糊拓扑空间。而称为是开集，当时称是闭集^[31][32]。

模式识别就是机器识别、计算机识别或机器自动识别，目的在于让机器自动识别事物。在日常生活和实际问题中有些模式界线是不明确的，相应的识别问题称为模糊模式识别^[10]。模糊模式识别问题一般分为两类：一类模式库是模糊的，而待识别对象是分明的，要用模糊模式识别的直接方法解决，按“最大隶属原则”归类，主要应用于个体的识别；另一类模式库和待识别对象都是模糊的，要用模糊模式识别的间接方法来解决，按“择近原则”归类，一般用于群体模型的识别^[10]。

最大隶属原则：最大隶属原则是模糊数学的基本原则之一，是用模糊集理论进行模式识别的一种直接方法^[1]。设即论域上的个模糊子集，为一具体识别对象，若存在，使

，

则称相对地隶属于，这即是最大隶属原则，在实际应用中，可以用来进行疾病诊断、机器故障诊断或进行癌细胞的识别等^[1][10]。

择近原则：设，若存在，使

，

则称与最贴近，即判定与为一类，该原则称为择近原则^[10][1]。可见，要从一群模糊集，中判定归于的哪一类（为已知），即当识别对象是模糊集而不是单个元时，这是用择近原则，即计算与的贴近度，贴近度最大的两个模糊集为一类^[10][1]。

定义：给定一个非空集合，上的一个模糊子集是由一个映射来定义的，该映射称为的隶属函数^[1][10]。

隶属函数是用于表征模糊集合的数学工具，应用模糊数学理论解决实际问题时，首先需要建立模糊集的隶属函数^[33]。隶属函数也是经典子集特征函数概念的推广，是刻画模糊子集本质特征的映射^[1]。经典集合论的特征函数只允许取两个值，故与二值逻辑相对应，从而可以按照布尔代数的法则来进行。模糊数学是将二值逻辑推广至可取闭区间任意值的、无穷多个值的连续值逻辑，因此也要把特征函数做适当的推广，这就是隶属函数^[2]。

确定方法：隶属程度的思想是模糊数学的基本思想，元素属于模糊集的隶属度是客观存在的，所以隶属函数的确定过程本质上说应该是客观的，但是事实上现在还没有一个完全客观的评定标准^[30][19]。在许多情况下经常是初步确定粗略的隶属函数，然后通过“学习”和实践检验逐步修改和完善化，而实际效果也是检验和调整隶属函数的依据^[19]。在实际应用中确定隶属函数的方法有：直觉法、推理法、模糊统计法、三分法、二元对比排序法、模糊分布法、人工神经网络法、群智能算法等^[10]。

模糊计算机是以模糊数学为理论数学基础，由模糊集成电路（或非逻辑、不规则集成电路）构成的，用于控制领域和推断判断领域的电子计算机^[34]。传统的计算机采用的是由和两个数组成的二进制逻辑，而模糊数学中的逻辑值可以可以取到之间的一切值，即逻辑判断的结论不仅是“是”与“非”，而是有无限种可能^[34][35]。模糊计算机主要由五个部分组成：模糊存储器、模糊推理机、取大电路、去模糊电路、控制器。它有如下三个特点：（1）使用模糊硬件；（2）进行模糊逻辑运算而不是布尔逻辑运算；（3）处理由“正大”，“近似为零”，“或多或少”等语言信息，而非二进制信息^[36]。

研究进展：1985年，第一个模糊逻辑片设计制造成功，每秒钟能运行八万次模糊逻辑推理，之后又有每秒钟进行64.5万次以上模糊推理的逻辑片^[37]。自1986年，在仙台市地铁管理中，利用模糊计算机判断行车情况比司机调节所发生的判断错误少了70%。1990年，日本松下公司把模糊计算机装在洗衣机里，并通过光学传感器，对衣服的数量、肮脏程度、用水量、应投放洗涤剂量做出判断，调节合适的洗衣程序。模糊计算机还能用于地震灾情判断、疾病医疗诊断、发酵工程控制、海空导航巡视等方面^[38][37]。

模糊推理机：模糊推理机是具有模糊信息处理功能的模糊计算机的雏形样机，它的理论基础是模糊集合论，其功能是模仿人的思维、判断、推理、决策来处理数字计算机所难以解决的控制问题。模糊推理机的出现，除了具有科学上的意义外，在模糊控制领域，由软件实现过渡到了硬件实现，它作为一种基本工具，可以方便迅速地进行知识获取等工作^[39]。

研究进展：1987年，在第二届国际模糊系统协会大会上，山川烈率先推出了模糊推理机，利用它成功地进行了著名的倒摆控制实验^[39]。1988年，北京师范大学数学系汪培庄领导的研究集体，以他提出的因素空间、模糊落影理论等为基础，在张洪敏和东北大学自控系的努力下，成功研制了世界第二台、中国第一台模糊推理机，用它也成功地实现了倒摆控制实验。该推理机由于采用了比山川烈更为简捷的线路设计，推理速度从山川烈的每秒1千万次提高到每秒1.5千万次，并且体积只有山川烈模糊推理机的十分之一^[39][40]。

专家系统是计算机科学人工智能技术的一个重要分支，运用模糊数学中的模糊集理论，对规则内部和观察事实引入隶属度的概念，允许使用模糊量词，并用模糊逻辑进行推理，形成模糊专家系统，能更精确、更合理地模拟领域专家的经验。模式识别是人工智能最早研究的领域之一，运用模糊数学理论对模式识别的对象进行模糊化形成模糊子集，建立隶属函数，之后利用最大隶属原则或择近原则识别，使计算机系统具有模拟人类通过感官接受外界信息、识别和理解周围环境的感知能力^[10][5]，模糊数学已成为人工智能领域不可缺少的理论基础^[5]。

模糊数学是将主观的数字化和客观的模糊程度相结合，将实际问题中的各种影响因素用集合的形式表现出来，所以由于医学指标的模糊性，奠定了模糊数学在疾病诊断上的实际应用价值。对于临床症状这类模糊概念，运用模糊数学的思想建立相应的模糊集合和隶属函数，进而使用模糊积分的思想进行模糊诊断。模糊数学在医学诊断中的应用，主要运用模糊逻辑运算规则，将上的模糊集利用模糊规则库中转化为到上的模糊映射关系，建立一个模糊关系矩阵来表示病人症状与诊断结论之间的因果关系^[6][41]。

气象中的许多问题是典型的的模糊性问题^[7]。例如，在农业生态气候适宜度的研究中，以农作物生长发育所需的温度和降水量为基础，运用模糊数学中隶属函数的方法，建立气候要素的适宜度曲线、适宜态及隶属函数，对该区气候因子（温度、降水）进行数理转化，以计算各种农作物生育全过程的温度适宜度、降水适宜度、水温综合适宜度，进行农业气候适宜度分析，为农作物的健康生长提供参考^[18]。在藏北地区旱情等级监测中，利用模糊数学的隶属度理论，建立藏北地区基于温度植被干旱指数TVDI的干旱等级划分标准，可以为气象部门更好地服务于农牧业生产提供科学依据^[42]。

电力设备的故障诊断中同时存在具有随机性和模糊性的不确定因素，面对日趋复杂的电力系统故障诊断，基于模糊数学方法可以建立电缆线路多级模糊风险评判模型。在对电缆线路组件不同风险状态量进行分类分析的基础上，得到电缆线路组件所对应风险状态量的隶属度与电缆线路风险因素集，针对不同运维检修人员的不同评估意见，通过该模型确定风险评判中的各个风险因素的向量与重要程度系数，对多层模糊算法则是采用加权平均模型进行改进与完善，最终为电缆线路状态检修工作提供了新的技术支持与理论依据^[8][43]。