极化恒等式

极化恒等式（英文：polarization identity）是联系内积与范数的一个重要的等式，是用范数表示内积的公式。^[1]极化恒等式在几何上的意义是向量的数量积可以表示成以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”的平方差的四分之一。^[2]

设H是内积空间，是由内积导出的范数，下列等式和常被称为极化恒等式：当H是实空间时，；当H是复空间时，。^[3]

此外，极化恒等式在有关数量积的最值问题、求值问题、范围问题、长度或面积问题以及综合问题的处理上具有广泛的作用。^[2]

当是内积空间，是由内积所导出的范数时，内积也可以用范数来表达。当是实内积空间时

当是复内积空间时

这两个等式可以直接从内积的定义导出。等式(1)和(2)称为极化恒等式。

Aldaz(2009)给出了如下有意义的结果。

设是复内积空间，对任意非零向量，有

特别地，当是实内积空间时，

证明：由极化恒等式(2)得到

以分别代替和，并展开右端第一项即可得到式(3)和式(4)，式(5)的证明是类似的。证毕。

在定理1条件下，成立恒等关系

设是复内积空间，对任意非零向量，有

证明：不妨假设是单位向量，由式(3)知，

等号成立当且仅当存在使得，证毕。

由式(6)容易得到GBS不等式。