条件概率

条件概率（英文：Conditional probability）是指在事件在另一个事件已经发生条件下的概率，公式为^[1][2]

通常人们认为概率论的鼻祖为法国的数学家帕斯卡（Pascal）和费尔马（Fer-mat），他们引进了赌博值的概念。随后，惠更斯（Huygens）改“值”为“期望”，并出版了《机遇的规律》。^[10]18世纪，英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）提出了一种用于推断未知事件概率的方法，即贝叶斯定理。19世纪中期，英国统计学家阿德尔·贝尔和皮埃尔-西蒙·拉普拉斯分别对贝叶斯定理进行了深入的研究和推广，使其成为统计学和概率论中的基本定理之一。^[11][12][13]

条件概率具有几个基本性质，如非负性、规范性、可列可加性等。^[9]在概率计算中，与条件概率有关的公式为乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。从一维推广至多维，可引出条件分布的概念。条件概率在实际应用中，可以广泛应用于水电发力、金融风险管理、自然灾害预测等领域。通过使用条件概率公式，可以更好地理解和预测事件发生的可能性，从而做出更准确的决策。^[14][8][15]

在实际问题中，除了要知道事件的概率外，有时还需要考虑一个事件的发生对另一个事件的影响，即在已知某一个事件已经发生的条件下，要求另一事件发生的概率，由于附加了条件“事件已经发生”，这个概率一般与有所不同，通常记作，并称为在事件已经发生的条件下事件发生的条件概率。^[16]

设定为同一样本空间的两个事件，若，则称

为在事件发生的条件下事件发生的条件概率。^[1]

同理，设为同一样本空间的两个事件，若，则称

为在事件发生的条件下事件发生的条件概率。^[1]

概率论的历史可追溯至17世纪法国的数学家帕斯卡（Pascal 1623～1662）提出的分赌本问题，他和费尔马（Fer-mat  1601～1665）在回信中对该问题做了讨论。1654年，他们引进了赌博值的概念，值等于赌注乘以获胜概率。^[10][17] 后来，惠更斯（Huygens）改“值”为“期望”，并出版了《机遇的规律》，其中的机遇博弈在概率概念的产生及其运算规则的建立中，起了主导作用。1713年，伯努利出版了《推测术》，该著作是把概率论由局限于对赌博机遇的讨论拓展出去的转折点和标志。伯努利采取把概率分为“主观概率”和客观概率的立场，其前三部分，是古典概率的系统化和深化。^[10]

贝叶斯定理的历史可以追溯到18世纪，英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在一本名为《解决机会主义问题的论文》的书中提出了一种用于推断未知事件概率的方法，即贝叶斯定理。19世纪中期，英国统计学家阿德尔·贝尔和皮埃尔-西蒙·拉普拉斯分别对贝叶斯定理进行了深入的研究和推广，使其成为统计学和概率论中的基本定理之一^[11][12][13]。

条件概率的几何图示所示。用正方形表表示整个样本空间，图内封闭曲线围成的图形表示事件，图形的面积理解为相应事件的概率，则事件的无条件概率（边际概率）为小圆的面积，事件的无条件概率为阴影部分的面积。如果已知事件发生，则样本空间收缩为阴影部分，在这个样本空间中考虑事件发生的概率，即的条件概率，等于图中用横线标示部分的面积占阴影部分面积的比例。^[18]

关于公式可以这样推导，已知发生，在此条件下发生，相当与（同时）发生，要求相当于把看做新的基本事件空间来计算发生的概率，即

其中，表示中包括的基本事件个数。^[19]

性质1^[1]

性质2 若，则^[1]

性质3 ^[1]

性质4 ^[1]

设和是任意二事件且，则

。

设，，，，是任意，个事件，，则

亦称做一般乘法公式，它与事件的序号无关。^[3]

由概率的完全可加性

再利用乘法公式即得

这公式称为全概率公式，它是概率论中使用概率最高的一个基本公式。^[20]

例如，雨伞掉了。落在图书馆的概率为50%，这种情况下找回的概率为0.80；落在教室里的概率为30%，这种情况下找回的概率为0.60；落在商场的概率为20%，这种情况下找回的概率为 0.05，求找回雨伞的概率。

解：以表示找回雨伞，而以，，分别记雨伞落在图书馆,教室和商场,显然，，满足

而且，，，，，，因此

^[21]

若事件能且只能与两两互不相容的事件，，，，之一同时发生，即

由于

故

再利用全概率公式即得

^[22]

这个公式称为贝叶斯公式。

例如，假定用血清甲胎球蛋白法诊断肝癌，，，这里表示被检验者患有肝癌这一事件，表示判断被检验者患有肝癌这一事件。又设在自然人群中。现在若有一人被此检验法诊断为患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率。

解：由贝叶斯公式，

^[23]

设二位离散随机变量（，）的联合分布列为

，，2，，，2，。^[24]

对一切被的，称

，，2，为给定，

条件下的条件分布列。^[24]

同理，对一切使的，称

，，2，为给定，

条件下的条件分布列。^[24]

设二维连续随机变量（，）的联合密度函数为，边际密度函数为。

对一切使的，给定条件下的条件分布函数和条件密度函数分别为为

。^[24]

对事件及，若

则称它们是独立统计的，简称独立的（independent）。

注意，按照这个定义，必然事件及不可能事件与任何事件独立。此外可看出，与的位置对称，因此亦称与相互独立。^[25]

若事件，独立，且，则

证明 由条件概率定义得

因此，若事件，相互独立，则关于的条件概率等于无条件概率，这表示的发生对于事件是否发生没有提供任何信息，独立性就是把这种关系从数学上加以严格定义。^[14]

条件概率在水力发电中的应用主要涉及调度策略的优化，以提高发电效率和可靠性。该技术的应用原则是根据系统中各元素的状态和相关信息进行预测和判断，计算出其发生的可能性，从而制定合理的调度策略。以模糊控制为例，它可以根据不确定的水资源情况和需求信息进行调度决策，使发电系统最大限度地利用水能资源，并减少对传统化石能源的依赖。^[6]

概率混合式风险资产比较适合于描述金融资产的信用风险，只要金融资产发生信用风险的概率可以估计，出现信用风险相当于是加和部分的作用.对于企业债券、公司股票和银行贷款可以尝试用概率混合式风险资产的收益模式来建立模型，进而研究其相应的投资学问题。^[15]

由于可把地震的发生看作在一定的速率下，应变能（或错动势）随时间积累的结果，故在原地复发的情况下，复发的可能性与当地自从上一次地震以来经过的时间有关。若已经经历了时间，地震还没有发生，则以此为条件，在未来的时段即到中，复发地震的可能性的大小用条件概率表示为：

^[8]

式中，和分别为复发概率的密度函数和分布函数。^[8]