晶面指数

晶面指数又称密勒指数。是晶面和晶面族的表示方法。^[1]晶体是由组成质点在空间按照一定的周期性有规律的排列而成，可将晶体在任意方向上分解为相互平行的结点平面，这样的结点平面称为晶面。晶面上的结点，在空间构成一个二维点阵，同一取向上的晶面，不仅相互平行，间距相等，而且结点的分布也相同。结晶学中常用密勒指数（hkl）来表示一组平行的晶面，称为晶面指数，也称为晶面符号。^[2]

晶面指数的标定方法为：首先根据空间点阵的基向量a、b和c来取晶轴系，然后求得待定晶面在三个晶轴上的截距r、s和t。取各截距的倒数，并将其化为互质的整数比h：k：l，即1/r：l/s：1/t=h：k：l，加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为（hkl）。若晶面与某轴平行，则在此轴上的截距为无穷大，其倒数为零；该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值。^[3]

在晶体中，原子的排列构成了许多不同方位的晶面，故要用晶面指数来分别表示这些晶面。晶面指数的确定方法如下：1．对晶胞作晶轴X、Y、Z，以晶胞的边长作为晶轴上的单位长度；2．求出待定晶面在三个晶轴上的截距(如该晶面与某轴平行，则截距为∞)，例如 l、1、∞，1、1、1，1、1、1/2等；3．取这些截距数的倒数，例如 110，111，112等；4．将上述倒数化为最小的简单整数，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，一般记为（hkl），例如（110），（111），（112）等。下面再举例来加以说明：图1-17中所标出的晶面a1b1c1，相应的截距为1/2、1/3、2/3，其倒数为2、3、3/2，化为简单整数为 4、6、3，所以晶面a1b1c1的晶面指数为(463)。图1-18表示了晶体中一些晶面的晶面指数。图1-17晶面指数的表示方法图1-18 几个晶面的晶面指数图1-19 {100}，{111}，{110} 晶面族对晶面指数需作如下说明：h、k、l分别与X、Y、Z轴相对应，不能随意更换其次序。若某一数为 0，则表示晶面与该数所对应的坐标轴是平行的。例如(h0l)表明该晶面与Y轴平行。若截某一轴为负方向截距，则在其相应指数上冠以“-”号，如（hk）、（kl）等。在晶体中任何一个晶面总是按一定周期重复出现的，它的数目可以无限多，且互相平行，故均可用同一晶面指数（hkl）表示。所以（hkl）并非只表示一个晶面，而是代表相互平行的一组晶面。 h、k、l分别表示沿三个坐标轴单位长度范围内所包含的该晶面的个数，即晶面的线密度。例如，(123)表示在X轴的单位长度内有 1个该晶面，在Y轴单位长度内有 2个该晶面，而在 Z轴单位长度内有 3个该晶面，而其中距原点最近的晶面在三坐标轴上的截距为1、1/2、1/3。在晶体中有些晶面具有共同的特点，其上原子排列和分布规律是完全相同的，晶面间距也相同，唯一不同的是晶面在空间的位向，这样的一组等同晶面称为一个晶面族，用符号{hkl}表示。在立方系中，晶面族中所包含的各晶面其晶面指数的数字相同，但数字的排列次序和正负号不同。例如图1-19所示，在立方系中：{100}包括（100）、（010）、（001）；{110}包括（110）、（101）、（011）、（1-10）、（10-1）、（01-1）；{111}包括（111）、（11-1）、（-111）、（1-11）。而{123}则包括（123）、（132）、（231）、（213）、（312）、（321）；（-123）、（-132）、（-231）、（-213）、（-312）、（-321）；（1-23）、（1-32）、（2-31）、（2-13）、（3-12）、（3-21）；（12-3）、（13-2）、（23-1）、（21-3）、（31-2）、（32-1）。共24组晶面。在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl] 垂直于（hkl）。例如： 垂直于（100）， 垂直于（110）， 垂直于（111），等等。但是，此关系不适用于其它关系。

晶面指数实质上反映了晶面法线在点阵中的取向，亦即晶面上结点的分布特征。显然，单位晶面的晶面指数为(1 1 1)，凡晶面平行于某一坐标轴（如X轴）者，其晶面指数具有的形式( 0 k l )，而晶面同时平行于二条坐标轴(如Y轴和X轴)者，其晶面指数则具有( 0 0 l )的形式。

固态物质按其原子(或分子)的聚集状态可分为两大类：晶体与非晶体。

在晶体中，原子(或分子)在三维空间作有规则的周期性重复排列。而非晶体就不具有这一特点，原子虽然处于紧密聚集的状态，但不存在长程的周期性排列。从液态到非晶态固体的转变是逐渐过渡的，没有明显的凝固点(反之亦然，无明显的熔点)。而液体转变为晶体则是突变的，有一定的凝固点和熔点。

非晶体的另一特点是沿任何方向测定其性能所得结果都是一致的，不因方向而异，称为各向同性或等向性。晶体就不是这样，沿着一个晶体的不同方向所测得的性能并不相同(如导电性、导热性、热膨胀性、弹性、强度、光学数据以及外表面的化学性质等等)，晶体的异向性是因其原子的规则排列而造成的。

非晶体在一定条件下可转化为晶体。例如，玻璃经高温长时间加热后能形成品态玻璃；而通常呈晶体的物质如果将它从液态快速冷却或采用一些特殊的制备方法可能得到非晶体。

位于同一直线上的阵点，每隔一个相等的距离就重复出现。同样，位于同一平面上的阵点构成了二维的点阵平面，将点阵平面沿一定方向平移一定距离，其阵点亦具有重复性。总之，由于各阵点的周围环境相同，空间点阵具有周期重复性。

因此，为了说明点阵排列的规律和特点，可在点阵中取出一个具有代表性的基本单元(通常是取一个最小的平行六面体)作为点阵的组成单元，称为晶胞。

晶体中任意两节点间连线所指的方向称为晶向。它和通过坐标原点的平行矢量的方向一致，常用符号[ u v w ]表示。u 、v、 w是平行矢量上任意一点在x，y，z坐标上坐标位置的最小整数比。

例如：[ 2 1 0 ]晶向就可视为从坐标原点到坐标(2,1,0)点连线的方向。

点阵中尚有许多方位不同、但面间距均相等(面上结点分布规律相同)的一些晶面组，可归并为一个晶面族，记为{ 0 k l}。

例如，在立方晶系中，{1 0 0}族有六个(1 0 0)组，{1 1 1}族有八个(1 1 1)组，{1 1 0}族有十二个(1 1 0)组。

各晶系中各晶面族所包含的等同晶面组的数目与该晶系的对称性密切相关。晶系的对称性愈高．则各晶面族所包含的等同晶面组则越多。晶面族代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。

晶体结构与空间点阵是有区别的。空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性。由于各阵点的周围环境相同，它只可能有14种类型。晶体结构则是指晶体中原子(包括同类的或异类的原子)或分子的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此可能存在的晶体结构是无限的。但是各种晶体结构总能够按其原子或分子(也可以是彼此等同的原子群或分子群)排列的周期性和对称性归属于14种空间点阵中的一种。