斯里尼瓦瑟·拉马努金

斯里尼瓦瑟·拉马努金（泰米尔语ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார்），1887年12月22日生于印度东南部泰米尔纳德邦的埃罗德。是印度著名的数学家。有“印度之子”之称，拉马努金爱好独处静思，尤其喜欢心算，并对数字有超常的记忆力。^[5][6]

斯里尼瓦瑟·拉马努金是20世纪印度最为年轻的数学家，1887年出生于印度贡伯戈讷姆一个贫穷的婆罗门教僧侣家庭。拉马努金幼年时学业成绩优异，后来一边工作一边沉迷于数学研究。1911年，拉马努金发表论文《伯努利数的一些性质》（some Properties of Bernoulli's Numbers）于印度数学会杂志，第二篇论文讲述了圆周率π的14种计算公式。在1914年进入剑桥大学，在学习期间一共发表了30多篇论文，31岁时当选为英国皇家学会的外籍院士(亚洲第一人)以及剑桥大学三一学院的院士(印度第一人)。^{[7][6][1][8][9]}

1920年4月26日拉马努金在33岁离开了人世。^[10]拉马努金在堆垒数论特别是整数分拆方面做出重要贡献，在椭圆函数、超几何函数、发散级数等领域也有不少成果。后来一个震撼互联网的发散级数就是拉马努金发现的。^[6][11]1997年《拉马努金期刊》创刊，用以发表有关“受到拉马努金影响的数学领域”的研究论文。^[12]

1887年，拉马努金出生于印度的婆罗门教僧侣家庭中。^[1]父亲是一家布店的小职员，拉马努金的一家虽然种姓很高，但生活依旧很贫穷。^[13]在12岁时拉马努金开始对数学发生兴趣，曾问高班同学，什么是数学的最高真理，当时同学告诉他“毕达哥拉斯定理”（即中国人称“勾股定理”）可以作为代表，这引起了他对几何学的兴趣。并开始自学龙内(原题：龙勒，S．L．Loney)的《平而三角学》。^[6][14][15]13岁时，他就掌握了借来的高等三角学的书里的知识。^[16]14岁时，他的数学天才开始显露，在学生岁月里不断获得荣誉证书和奖学金。^[17]1903年，16岁的拉马努金拿到了一本凯尔（G. S. Carr）的《纯粹和应用数学基本结果概要》。拉马努金仔细地研究了这本书里面5000个数学定理。第二年，拉马努金发现并研究了伯努利数，并将欧拉-马斯切罗尼常数计算到了小数点后15位。被校长形容为“用满分也不足以说明他如此出色”。^[18][19][11]

1904年，拉马努金进入当地著名的贡伯戈纳姆学院后，把全部精力投入数学研究，导致其他科目不及格。拉马努金因此不仅失去奖学金，而且被学校开除。1905年，拉马努金在18岁时为此离家出走3个月。一年后，拉马努金被马德拉斯的帕凯亚帕学院录取，但拉马努金只有数学成绩优异，其他5门文科课程有两次不及格。拉马努金在学习上的失力使父母对拉马努金扭转了态度，致使拉马努金开始赚钱养家。此后拉马努金开始做家教维持生计，同时从图书馆借来数学书，然后把自己的研究结论写在笔记本里。^[20][6]

1909年拉马努金的家人为他安排一个9岁的女孩做妻子，有了家而且是长子，拉马努金不得不寻找工作，帮助家里解决一些生活费用，朋友艾亚尔（S. Aiyar）推荐他去找马德拉斯港务信托处官员拉奥（R. Rao）。拉奥是一个数学爱好者，他很赏识拉马努金的数学才能。他认为拉马努金只适合搞数学而不适合做其他工作，因此宁愿每个月给他一些钱，让他挂名不上班，在家专心从事数学研究。1911年，拉马努金的第一篇论文“关于伯努利数的一些性质”在《印度数学会会刊》发表，他也从此开始与数学界同行进行正式交流。1912年3月，拉马努金的朋友拉奥介绍其成为马德拉斯地区港务局办公室的正式员工，年薪约30英镑。拉马努金解决温饱问题之后，便专心投入到对数学的钻研中，这时的拉马努金25岁，人们才渐渐理解拉马努金在数学上远比常人的天赋。^[20][6]

1913年，拉马努金把自己的研究成果寄给英国著名数学家希金，却并没有得到希金的认可，希金对拉马努金的反馈是缺乏数学教育背景，没有成为数学家的潜质^[21]。同年2月16日拉马努金写信给剑桥大学教授哈代，信中表明自己现在的处境，并把自己所读的书及其研究得到的结果一并发过去，请求哈代确认研究结果有价值后代拉马努金进行发表。拉马努金在信中附上的120条公式都是未经过证明的，哈代随即写下信函邀拉马努金到剑桥工作。^[18]拉马努金的母亲得知后极力反对此事，当时印度的种姓习俗中，穿越海洋就意味着背叛家族，拉马努金自己也犹豫不决。随后不久，马德拉斯大学资助拉马努金1800卢比用于研究数学项目的资金。拉马努金在生活上有了保障就不再需要为生活到处奔波，就没有前去剑桥工作。拉马努金的决定并没有让哈代放弃对他的邀请，哈代的同事内维尔(E．H．Neviue)去马德拉斯演讲时，找到拉马努金极力劝说其去英国工作。12月下旬，拉马努金在拿马卡(Namakkal)的娜玛吉亚女神庙中度过3天之后，决定接受哈代的邀请前往英国学习。拉马努金的母亲也梦到娜玛吉亚让她不要干涉儿子的事业，因此拉马努金的母亲也欣然同意。1914年2月，马德拉斯大学向拉马努金提供了两年每年250英镑的研究津贴并报销旅费。哈代为拉马努金安排在剑桥大学三一学院(Trinity College)学习的全额奖学金，并附加60英镑的补贴。^[22]

1914年3月拉马努金踏上去英国三一学院学习的征程。^[22]拉马努金在英国三一学院通过自己的钻研发现数术中集合函数^[注1]的性质，研究解析数论主要尖锐的问题。体现出了拉马努金知识的局限性以及深奥性，拉马努金并不明白什么是论证，对复变函数仅有朦胧的认知，但是却可以反复交替使用论证、直观和归纳。哈代在拉马努金的基础上进行梳理指引，使得拉马努金在数学才华得到充分发挥。拉马努金在英国5年的时间里诸多论文都是在原来基础上加以延伸。拉马努金共发表21篇论文，17篇注记，多数展现在伦敦的数学刊物上，法国科学院杂志和德国的数学杂志上也有发表。^[21]尽管在剑桥有很好的生活条件，但是拉马努金不适应英国潮湿的天气气候。1917年秋拉马努金因经常工作到忘记吃饭，以至于身体严重缺乏营养，过度劳累病倒。医生建议拉马努金返回家乡，印度的饮食和环境对拉马努金的身体是有益的。当时处于世界第一次大战期间，不适宜长途迁移，拉马努金便留在英国继续生活。1918年，拉马努金的研究水准达到世界一流水平，年纪轻轻的拉马努金被聘为剑桥大学三一学院研究员，当选为英国皇家学会会员，这两个职位是每个科学家都认同的最高职位。^[18]拉马努金在英国的最后两年里，反复出现在医院和大学之间，病情并没有好转。^[24]

1919年，第一次世界大战结束，拉马努金拖着病重的躯体返回故乡。马德拉斯大学立即聘请拉马努金，以每年提供250英镑的丰厚津贴到本校担任教授。拉马努金随即阐述出自己因病情的侵蚀无法担任，待病情好转后很乐意这样做。1920年4月26日拉马努金因病逝世，年仅33岁。去世时拉马努金一贫如洗，拉马努金生前将自己的科研津贴全部送给贫穷的孩子当做学费。^[18]

拉马努金发现了1/π的一个新的表达式，这是一个无穷级数。这个级数的第一项就给出了π的前七位有效数字，前两项给出了15位有效数字。事实上，每多计算一项，这个级数就可以多给出8位有效数字。^[11]

拉马努金研究了无穷发散级数，拉马努金可以给不同的发散求和赋予一些数学意义。一个后来震撼互联网的发散级数就是拉马努金发现的。^[11]

拉马努金曾向数学界提出一项挑战：求出下列无穷嵌套平方根的值。但没人能给出答案。于是他直接发表了答案，答案并不复杂，就是3。^[11]

没人知道拉马努金是怎么做到的，但他确实找出了这样几个很接近整数的幂指数：实际上，上面公式中的平方根通过L函数、椭圆曲线和模形式理论与所谓“类数”相联系。^[11]

在寄给哈代的第一封信中，拉马努金在第三页末尾写下了一个逆天的积分：它在0 < a < b + 1/2时成立。^[11]

在集合论中，一个集合分成的一组非空子集叫做划分。对于一个n元集合，不同划分的方式叫做划分数p(n)。

拉马努金推导出了下面这个用于计算划分数的公式。^[11]

拉马努金theta函数是印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金定义的双变量复变theta函数，推广了雅克比theta函数，被广泛地应用在q-函数和级数的理论中。^[25]

拉马努金在 1911 的论文《不规则数》（Irregular Numbers)中给出了一些公式，涉及含有奇数个质因数的整数列2,3,5,7,8,11,12,13,17,18,以此类推，和不含有相同质因数的整数列 2,3,5,6,7,10,11,13,14,15,以此类推。拉马努金用这些数列来求无穷乘积的值，以及无穷求和。^[13][8]

拉马努金于1919年2月启程回国在印度，他继续研究q-级数^[注2],写下了一本笔记(被称为遗失的笔记(Lost notebook))。^[14]人们更感兴趣的是拉马努金未曾发表的3本笔记本，以及前面提到的“遗失的笔记”(那是近 100 页散失的手稿)其中记载着许多公式和定理。拉马努金 1919 年回国时把第一本笔记留在哈代那里，一年之后由哈代交给来剑桥访问的马德拉斯大学图书馆馆长。第二、第三本在拉马努金去世后,也捐给了马德拉斯大学图书馆。哈代根据第一本笔记，用了整整4个月的时间,写了一篇论文:《拉马努金笔记中的一章》(A Chapter from Ramanujan’sNotebook),介绍其中的一章一一超几何级数,指出拉马努金发现了很多重要结果。其中许多是新的,这引起更多人的关注。^[14]第一本笔记有351页，大约16个有某种组织的章和一些无组织的材料。第二本笔记有256页，散布在21章和100个无组织页面中。第三本有33个未组织的页面。^[27]

拉马努金给出了整数n的分拆函数P(n）^[注3]的估计式,并证明了P(n)的渐近公式。拉马努金还利用椭圆函数理论,证明了P(n)的同余式的一些结果,并提出一个猜想，拉马努金猜想断定了拉马努金τ函数的大小，函数τ的生成函数是模判别式Δ(q)^[注4]。这个猜想在1973年被证明，由皮埃尔·德利涅证明的魏依猜想推论而得，其化简步骤相当复杂。^[29][30]

为了鼓励年轻人刻苦学习和奋发向上，马德拉斯大学于1950年建立了一个用拉马努金的名字来命名的高等数学研究所，在研究所门前为其矗立一个大理石半身像；后来该所培养了不少优秀数学人才。^[7]

印度人在纪念拉马努金时，把他和圣雄甘地(M. Gandhi)、诗人泰戈尔(R. Tagore)等人一道，称作“印度之子”，在1962年拉马努金诞辰75周年之际，印度发行了一套纪念他的邮票。1975年印度成立了“拉马努金学会”，1986年开始出版会刊。^[7]

2005年“阿布杜斯·萨拉姆国际理论物理中心”和“国际数学联盟”（AbdusSalamInternational Centre for Theoretical Physics and the International MathematicalUnion)为了纪念拉马努金,设立了“拉马努金奖”奖励来自发展中国家的年轻数学家,每年颁发一次。^[13]

著名物理学家加来道雄这样评价拉马努金：“拉马努金是整个数学界，甚至可能是整个科学史上最奇怪的人。他如同一颗爆发的超新星，照亮了数学最黑暗、最深刻的角落，然后在 33 岁时不幸被肺结核击倒，就像他的前辈黎曼一样。”^[11]

作者卡尼盖尔《知无涯者：拉马努金传》一书中写到：拉马努金的直觉的跳跃令今天的数学家感到迷惑，拉马努金死后70多年，他发现的定理被应用到他活着的时候很难想象到的领域。^[19]

作者单墫在《数学随笔》一书中写到：敏捷与否大概与对数学的感觉有关，印度天才数学家拉马努金的感觉就特别好。^[36]

英国大数学家戈弗雷·哈罗德·哈代(Godfrey Harold Hardy）曾说：自己和拉马努金的合作是“一生中最浪漫的事件。”^[37]

拉马努金病重，哈代前往探望。哈代说：“我搭计程车来，车牌号码是1729，这数字真没趣，希望不是不祥之兆。”拉马努金答道：“不，这个数有趣得很。在所有可以用两个立方数之和来表达而且有两种表达方式的数之中，1729是最小的（即1729=1³+12³=9³+10³）。”后来这类数称为的士数哈代引述利特尔伍德的话说：“每个正整数都是拉马努金的朋友。”^[2]

拉马努金在法国生病这段时间里，拉马努金愈发明白，在印度所做的很多工作只是重复了欧洲数学家已建立的理论，为此拉马努金耗费了太多精力。拉马努金回忆过去岁月中失去的，用在用过所有的成就都无法挽回。失落感和孤独使拉马努金跃身跳进伦敦地铁的铁轨中，火车及时刹住了。拉马努金被警察局拘留，后来经哈代的好言劝说才使拉马努金释放出来。^[38]

20世纪最伟大的数学家之一、英国人哈代曾经设计了一种关于天生数学才能的非正式的评分表，哈代给自己评了25分，给另一位杰出的数学家李特尔伍德评了30分，给他同时代最伟大的数学家希尔伯特评了80分，而对拉马努金，他评了100分。^[39]