态射

两个数学结构之间保持结构的一种映射

态射

态射（morphism[8]）是两个数学结构之间保持结构的一种过程抽象，是从 X 指向 Y 的箭头，其中 X小于等于Y。[5][13]在集合论中，态射就是函数；在群论中，它们是群同态；在拓扑学中，它们是连续函数；在泛代数的范围中，态射通常是同态；[5][14]范畴论以抽象的方法来处理数学概念，将这些概念形式化成一组组对象及态射。[5]1890年代，理查德·戴德金（Richard Dedekind）强调保持集合上的运算不变的映射（即态射）。但直到20世纪30-40年代，对结构的一般概念的表述仍集中于集合、集合的元素以及定义在它们上的运算和关系，没有强调态射。[3]20世纪40年代，塞缪尔·艾伦伯格（Samuel Eilenberg）和桑德斯·麦克莱恩（Saunders Mac Lane）为了搞清楚某些同构（等价）的“自然”变换的精确含义合作了《自然等价的一般理论》，其中包括：一个范畴是由一些对象组成的类给出的，对于每个对象对（），都存在一个从到的对应（称为态射）的集合。[4]

态射（morphism[9]）是两个数学结构之间保持结构的一种过程抽象，是从 X 指向 Y 的箭头，其中 X小于等于Y。[6][14]在集合论中，态射就是函数；在群论中，它们是群同态；在拓扑学中，它们是连续函数；在泛代数的范围中，态射通常是同态；[6][15]范畴论以抽象的方法来处理数学概念，将这些概念形式化成一组组对象及态射。[6]

1890年代，理查德·戴德金（Richard Dedekind）强调保持集合上的运算不变的映射（即态射）。但直到20世纪30-40年代，对结构的一般概念的表述仍集中于集合、集合的元素以及定义在它们上的运算和关系，没有强调态射。[4]20世纪40年代，塞缪尔·艾伦伯格（Samuel Eilenberg）和桑德斯·麦克莱恩（Saunders Mac Lane）为了搞清楚某些同构（等价）的“自然”变换的精确含义合作了《自然等价的一般理论》，其中包括：一个范畴是由一些对象组成的类给出的，对于每个对象对（），都存在一个从到的对应（称为态射）的集合。[5]

态射可分为同构、满同态、单同态、双同态、自同态和自同构等。[10][11][12][13]态射可以进行复合运算、单位运算和域运算。[16][17][18]态射广泛应用于不同领域，在数学领域中，是一种分析结构之间的联系和转换的有力工具，[19]用以理解数学的结构本质；[7]在计算机科学领域中，态射应用于程序之中，如软件体系结构动态演示等。[8]在心理学领域中，可以提供认知过程和认知结构整合的合适模型。[20]

定义

态射是两个数学结构之间保持结构的一种过程抽象，是从指向的箭头，其中小于等于。[6][14]在集合论中，态射就是函数；在群论中，它们是群同态；在拓扑学中，它们是连续函数；在泛代数的范围中，态射通常是同态；[6]在范畴论中，态射描述结构中对象之间的关系。[21]

令和是两个具有相同标号的（朴素）结构，并且是结构的基础集，是结构的基础集，是一个到的函数，即，并且满足对每个标号和的元素，使得成立，则称是从结构到结构的一个态射，记作。[15]

单态射

设是范畴，是的态射，如果对的任意态射若必有（或说可以左消去），则称是单态射。[22]

满态射

设是范畴，是的态射，如果对的任意态射，若必有（或说可以右消去)，则称是满态射。[23]

双态射

设是范畴，。若即是单态射又是满态射，则称是一个双态射。[24]

常态射

设是范畴，。若对范畴中任意一对态射，都有，则称是一个常态射。[25]

共常态射

设是范畴，。若对范畴中任意一对态射都有，则称是一个共常态射。[25]

零态射

设是范畴，.若即是常态射又是共常态射，则称是一个零态射。[25]

历史

理查德·戴德金（Richard Dedekind）将映射概念置于纯数学概念的核心，作为算术、代数和分析的唯一基础，这种态度在十九世纪的数学家中并不常见。戴德金从1870年代开始强调集合和集合上的映射，在1890年代强调保持集合上的运算不变的映射（即态射），如1894年域的同构映射，这标志着代数结构概念获得发展。但直到20世纪30-40年代，对结构的一般概念的表述仍集中于集合、集合的元素以及定义在它们上的运算和关系，没有强调态射。[4]

理查德·戴德金
理查德·戴德金

20世纪40年代，塞缪尔·艾伦伯格（Samuel Eilenberg）和桑德斯·麦克莱恩（Saunders Mac Lane）为了搞清楚某些同构（等价）的“自然”变换的精确含义合作了《自然等价的一般理论》，它公理化地系统论证了两人1942年发表在美国国家科学院院刊（Proceedings of the National Academy of Sciences）上的预告论文里介绍过的函子、范畴和自然等价等一连串的新概念。其中包括：一个范畴是由一些对象组成的类给出的，对于每个对象对，都存在一个从到的对应（称为态射）的集合。[5]

塞缪尔·艾伦伯格
塞缪尔·艾伦伯格

相关运算

态射满足复合运算律、结合律以及单位态射等运算关系。[26]

复合运算

1.如图所示：态射与态射复合得到态射，记为。[3]

态射的复合
态射的复合

2.若；态射，则存在唯一的复合态射，称为与的复合；[27]

恒等态射

对于任意的对象，存在态射称为恒等态射，使得和对于任意的和成立。[28]

1.每一个对象，存在一个态射，使得对任意的及有，，称为单位态射，[17]单位态射也称为恒等态射。[29]

2.每一个对象，存在一个单位态射，使得对任意的态射，有。[27]

3.如图所示：，，根据态射的复合，可得，。[3]

恒等态射
恒等态射

结合律

1.若；态射，则；[27]

2.如图所示：根据态射的复合，可以得出；；进一步复合，可得出与都表示与之间的态射，因此有。[3]

态射的结合律
态射的结合律

域运算

一组态射的集合，其中，态射，；称是的论域，为的余论域（陪域[30]），记作，。[18]

陪域运算

态射通常用箭头表示[3]，其中箭头从其定义域到其陪域。例如，如果一个态射的定义域是X，陪域是Y，那么这个态射可以表示为。[30][31][32][33]

分类

态射的类型有同构、满同态、单同态、双同态、自同态和自同构等。[13]

同构

同构也称为可逆态射，或同构态射。设是范畴，，。若存在使得，则称为可逆态射，或同构态射，简称同构，并称为的逆态射。此时称中的对象与是同构的。若的逆态射存在，则易证它是惟一的，并记作。[10]

满同态

设、、都是内的二元运算，、、都是内的二元运算，。如果到的满射满足那么就称到（）的满同态映射；若由（）到（）存在满同态映射，那么就称这两者满同态，记做（）（）或（）（）；

如果，，，那么就称为（）的一个满自同态映射或满自同态（）。[11]

单同态

设（，）和（，）是两个群.和分别是和上的二元运算，又设是从到上的一个映射，若对，有，则称是由群到群的一个同态映射。简称群同态；如果是单射的，则称是到的单同态。[12]

双同态

设，是两个同类型的—双模，若是同态，又是同态，则称为一个—双同态。[34]

自同态

设，是代数系统，如果是从，到，的同态，则称为自同态。[35]

自同构

设，是代数系统，如果是从，到，的同构，则称为自同构。[35]

举例

在集合范畴中，（在某个给定的集合论模型中），其对象为集合，态射为映射。[36]

在群范畴中，其对象为群，态射为群同态。类似地有群范畴、环范畴和模范畴。[36]

在拓扑空间范畴中，其对象为拓扑空间，态射为连续映射。类似地有拓扑群范畴，其对象为拓扑群，态射为连续的群同态。可微流形为对象光滑，映射为态射的范畴。[36]

在拓扑空间同伦范畴中，其对象为拓扑空间，态射为连续映射的同伦等价类。[36]

在点拓扑空间范畴中，其对象为序对(X,x)，其中X是非空拓扑空间，，态射为保点连续映射（称为保点连续映射，当且仅当是连续映射并且满足）。[36]

在函子范畴中，态射是自然变换，函子可以视为小范畴的范畴中的态射。[37][38]

理解数学结构

态射是一种分析结构之间的联系和转换的有力工具。[19]“态射”作为数学域的中心特性被范畴论最初直接应用，通过范畴统一理解数学内容。随着数学结构主义思想的普及，“态射”被用以理解数学的结构本质。数学结构由对象与对象之间的关系决定，而范畴论是对象与态射的理论，据此，范畴论与数学结构产生了关联，而且范畴论的对象与态射语言在表达结构时非常契合，譬如一个拓扑结构，只需要考虑空间之间的连续映射，不需要考虑空间中涉及的无结构内容。[7]范畴的结构性质是通过态射表述的，因为范畴中的对象除了与同范畴中其他对象之间的关系外不具有任何其他性质，而对象与其他对象之间的关系就是态射。[39]

测量

德国数学家奥托·霍尔德（Otto Hölder）将几何学的公理学方法运用于测量理论，首次实现了对象域内发生事实的数值表示条件必要性和充分性问题的研究。在霍尔德看来，对象显示出一定的属性量级，组成了定性比较组合系统，这里的“表示”即为同构的含义。根据霍尔德的研究，“未来标准分析的一个重要部分将是建立了一个比较组合的经验系统必须满足的公理，使一个加法态射将这样的系统转换成实数，因为由于相加性测量是测量的范式，对其条件的分析将是度量化的范式。[40]

程序

在计算机科学中，态射表示过程的想法出现在应用程序中，程序由范畴中的态射表示，数据类型是对象。[8]范畴论方法在计算机科学中应用的主要思路是：将具有相似特征的不同研究对象及其关系高度抽象为一个统一的范畴概念。而态射则是实现这种抽象的数学工具。同时，每个对象均可由恒等态射等价替换，即态射是范畴论研究与应用的核心。[41][41]下面是态射在软件体系结构动态演示中的运用：

设有一个软件体系结构，它对应的超图为，再给定一个超图产生式规则，其中为超图到超图的一个部分超图单射，如果运用超图产生式规则可由变换得到(为另一个软件体系结构超图），则称为一个软件体系结构演化产生式规则，简称为软件体系结构演化规则。[42]

计算机应用
计算机应用

算法

态射在基本分类器的机器学习中应用，其具体描述：假设输入空间为对象，且，样本集对象，其中，是的目标值，是对象中的元素。从样本集对象中可以获得个映射，其中是从对象到对象的态射，即为预测态射。但需要寻找一种态射，通过态射联系和，使得，此时态射即为最终的预测态射。因此，定义分类器算法为分类器范畴算法，记作。通过上面对分类器范畴算法的描述，可看出态射与态射的关联以及区别是此算法的重点。因此，为提高算法精确度，增加态射的差异性和多样性，能够缩小误差。[43]

分类器范畴算法
分类器范畴算法

心理学领域

态射是皮亚杰认知发展范畴思想的核心成分，它在发生认识论中代表比较、对应、关系等。除此之外，根据皮亚杰等人大量的实验，发现态射还能标示认识过程中所有的行动类型，而且能使结构定义得到简化，使结构的分离与转换成为可能。其中所涉及的一般化、抽象与具体化，很真实地反映了认识的动态转换。[20]

态射是一种概念化过程，自身有一个建构与发展过程，态射在范畴论内亦可成为具体对象。所以在应用态射描述越来越抽象的思维过程时，它可以是下一水平的形式，又可以是上一水平的内容。所以，态射可以把认知过程的动态的、交换性、平衡化、反省抽象、概括化以及开放的可能性等有机地整合在一起，进而为认知过程和认知结构的整合提供合适模型，可以让人们从认识的最基本水平开始向前进行系统分析。[20]

参考资料 43

  1. 参考 1
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