单态射

单态射(monk morphism)是集合范畴Set中单射概念的推广，它与满态射是互为对偶的概念。在范畴论中，单态射是具有左消去律的态射，即对所有态射g1, g2，若f∘g1 = f∘g2，则必有g1 = g2。单态射的对偶概念是满态射，它们在对偶范畴中的角色互换。

单态射表示范畴的研究起源于20世纪30年代，在随后的数十年引起了人们的极大关注和研究热情，单态射表示范畴与其他数学分支有着深刻的联系。与多关于单态射表示范畴的工作都是针对An型箭图展开的，研究对象从最初的单态射到单态射序列再到单态射表示，人们对单态射表示范畴的认知逐渐深刻。

范畴U中的态射f : A → B，若有左可消性质，即对使态射合成有意义的态射u,v，由fu = fv可断定u=v，则称f为该范畴的单态射。若h为单态射，则f必为单态射；单态射的合成仍为单态射；单位态射必为单态射，甚至左可逆态射也是单态射。

具左反元素的态射必为一单态射。例如，若态射f具有左反元素l（即l为一态射，且l∘f=idX），则f∘g1=f∘g2推出l∘f∘g1=l∘f∘g2，从而得出g1=g2。然而，并不是每个单态射都具有左反元素。例如，在由所有群组成的范畴Group中，子群H到G的包含映射f : H → G总是单态射，但f只有在H在G中有正规补群时才具有左反元素。

如果态射f的左反元素是态射l，则f是l的右反元素，f被称为l的截面，而l是f的收缩。每个截面都是单态射，每个收缩都是满态射。

一个态射f : X → Y是单态射，当且仅当对所有的Z，定义的映射f* : Hom(Z, X) → Hom(Z, Y)是单射，即对所有态射h : Z → X，有f*(h) = f∘h。

在具体范畴中，每个单射函数的态射都是单态射；换句话说，当态射实际上是集合间的函数时，如果它是一对一函数，则它必定是单态射。在集合范畴中，每个单态射也是单射态射。这一性质在大多数自然产生于代数的范畴中也成立，例如群、环和阿贝尔范畴。

然而，并非在所有具体范畴中的单态射都是单射态射。例如，在由可除交换群组成的范畴中，存在着单态射但不是单射态射的群同态，如商映射q : Q → Q/Z（其中Q是有理数构成的加法群，Z是整数构成的加法群，Q/Z是它们的商群）不是单射（因为每个整数都映射到0），但它是单态射。