开普勒第三定律

开普勒第三定律

开普勒第三定律（Keplers third law）也称周期律，其内容是：各个行星绕太阳公转周期的平方及其椭圆轨道的半长轴的立方成正比，表达式为，其中是行星公转轨道半长轴，是行星公转周期。[0][1][6]1609年，约翰尼斯·开普勒(Johanns Kepler)[5]提出开普勒第一定律、开普勒第二定律。但他希望找到一种能适合所有行星的总体模式，把各行星联系在一起。之后，他经过九年的反复计算和假设，终于在1618年找到在大量观测数据后面隐匿的数的和谐性，即开晋勒第三定律。1619年，他在《宇宙的和谐》一书中介绍了开普勒第三定律。[4]

开普勒第三定律（Keplers third law）也称周期律，其内容是：各个行星绕太阳公转周期的平方及其椭圆轨道的半长轴的立方成正比，表达式为，其中是行星公转轨道半长轴，是行星公转周期。[1][2][7]

1609年，约翰尼斯·开普勒(Johanns Kepler)[6]提出开普勒第一定律、开普勒第二定律。但他希望找到一种能适合所有行星的总体模式，把各行星联系在一起。之后，他经过九年的反复计算和假设，终于在1618年找到在大量观测数据后面隐匿的数的和谐性，即开晋勒第三定律。1619年，他在《宇宙的和谐》一书中介绍了开普勒第三定律。[5]

开普勒第三定律揭示了在周期和平均距离之间存在一个固定的关系，证明了对地静止卫星的轨道高度为一定值，[8]且建立了相同中心天体内部行星之间的运动规律。此外，该定律为艾萨克·牛顿（Isaac Newton）的万有引力定律提供了基础。[9]

定义

开普勒第三定律也称周期律，其内容是：所有行星绕太阳一周的时间的平方正比于它们轨道的半长轴的立方。其表达式为。[2][7]

简史

1601年，丹麦天文学家第谷·布拉赫（Tycho Brahe）逝世，约翰·开普勒接替了第谷的工作，开始编制鲁道夫星表。他发现第谷的观测数据，与哥白尼体系、托勒密体系都不相符，于是他火星轨道着手，运用传统的匀速圆周运动加偏心圆来计算其轨道，均遭到失败。经过长达4年近70次各种行星轨道形状设计方案的计算，开普勒认识到哥白尼体系的匀速圆周运动和偏心圆的轨道模式与火星的实际运动轨道不符。于是他尝试用别的几何曲线来表示火星轨道的形状。他认为行星运动轨道的焦点应该在产生引力中心的太阳上，并进而断定火星运动的线速度不是匀速的，近太阳时快些，远太阳时慢些，并得出结论：从太阳到火星所联接的直线在一天内扫过的面积是相等的。[5]

开普勒
开普勒

开普勒把这结论推广到其他行星上，结果与观测数据相符。就这样，他首先得到了行星运行的等面积定律。随后他发现火星运行的轨道不是正圆，而是焦点位于太阳上的椭圆，他把这个结论应用于其他行星也是适用的，于是他又得到了行星运行的椭圆轨道定律。这两条定律发表在他1609年出版的《新天文学》一书上。但他对自已取得的成就还不满足，他希望找到一种能适合所有行星的总体模式，把各行星联系在一起。之后，他经过九年的反复计算和假设，终于在1618年找到在大量观测数据后面隐匿的数的和谐性：行星公转周期的平方与它们到太阳的平均距离的立方成正比，这就是周期定律，即开晋勒第三定律。1619年，他在《宇宙的和谐》一书中介绍了开普勒第三定律。[5]

角动量守恒

描述质量为、围绕太阳（质量为，且）运动的行星的拉格朗日量由式给出。开普勒第二定律是如下事实的直接推论：行星的角动量是运动常数，行星与太阳的连线扫过的面积由下式给出：

由上面式子可以写出利用行星轨道描述的椭圆的面积

，其中是椭圆的半长轴，是椭圆的离心率，是行星的轨道周期。再根据椭圆方程，由上面两个式子可以得到，

由以上两个式子合并可以得到，因此开普勒第三定律是正确的。[7]

轨道能量推导

由运动总能量 ，得 ，则运动周期为

即

其中， ， ，和是方程 的根，它们是椭圆运动的两个转折点，为轨道半径，为引力常量，为中心天体的质量。[10]

微元法

现实中的星体运动的轨道大多数是椭圆，于是便有以下推导：

利用微元，矢径在很小的时间内，扫过面积为，矢径与椭圆该点的切线方向夹角为，椭圆的弧长为。在时，扫过面积可以看作为三角形，

，面积速度为 。

R为半长轴
R为半长轴

设各行星绕太阳运行周期为，椭圆半长轴为、半短轴为、太阳到椭圆中心的距离为，则行星绕太阳运动的周期 。

选近日点和远日点来研究，由相等可得 ，从近日点运动到远日点的过程中，根据机械能守恒定律得：

，

得 ： ，

由几何关系得： ， ， ，

所以 ，

，

，

整理得。[11]

适用范围

开普勒定律不仅适用于太阳系，对具有中心天体的引力系统（如行星-卫星系统）和双星系统都成立。围绕同一个中心天体运动的几个天体，它们轨道半径三次方与周期的平方的比值（ )都相等，为 ，为中心天体质量。这个比值是一个与行星无关的常量，只与中心体质量有关，那么相同时这个比值相同。[12][13]

开普勒第二定律

开普勒第二定律也称面积律，其内容是：行星与太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。[2][7]

开普勒第一定律

开普勒第一定律也称椭圆律，其内容是：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。[2][7]

平方反比定律

平方反比定律是物理学中少有的几个非常普遍但又高度简单明晰的事实之一。质量为、的两相对静止物体之间的牛顿万有引力具有与距离平方反比的形式为

。[14]

万有引力定律

所有物体之间相互吸引的力与质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。该定律是牛顿根据开普勒第三定律推导出来的，其公式为，其中为万有引力常量，、是物体的质量，为物体质心之间的距离。[15][16]

人造卫星

根据普勒常量可以推导人造卫星的运动参量，开普勒第三定律的开普勒常量为。如果中心天体是地球，其质量为，人造卫星环绕地球运动，其轨道半径为，利用开普勒常量可以很方便、快速地计算描述卫星运动的有关运动参量。[3]

天体

英国科学家哈雷因开普勒第三定律的理论，研究了1337-1698年间出现的24颗彗星记录，从而得到一下预言：人们曾在1682年看过的这颗彗星，将在1758年底或1759年初、1835年、1910年重现，事实证明哈雷的推测是正确的。[17][4]

电学

开普勒第三定律也适用于部分电荷在点电场中运动的情况。因为库仑力与万有引力均遵循“平方反比”规律，通过类比可知，带电粒子在电场中的椭圆运动也遵循开普勒第三定律。[18]此外，该定律还可以计算粒子运动时间，如先构造一个匀速圆周运动的模型，根据牛顿第二运动定律和库仑定律计算圆周运动周期，再将粒子由静止开始的直线加速运动当做一个无限“扁”的椭圆运动即可。[19]

影响与意义

开普勒第三定律揭示了在周期和平均距离之间存在一个固定的关系，从而证明了对地静止卫星的轨道高度为一定值。[8]

开普勒第三定律建立了相同中心天体内部行星之间的运动规律。根据第三定律，从某一颗行星计算出的值，就可以去确定另一个已知轨道半径的行星绕太阳运行的周期，或已知周期求轨道半径。在开普勒第三定律提出的47年以后，牛顿从此导出发现了万有引力定律。[20]

参考资料 20

  1. Orbits and Kepler’ s Laws — nasa
  2. 参考 2
  3. 参考 3
  4. 参考 4
  5. 参考 5
  6. Words Nearby Kepler — dictionary
  7. 参考 7
  8. 参考 8
  9. 参考 9
  10. 参考 10
  11. 参考 11
  12. 参考 12
  13. 参考 13
  14. 参考 14
  15. 参考 15
  16. 参考 16
  17. 参考 17
  18. 参考 18
  19. 参考 19
  20. 参考 20
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