开平方

开平方是将一个数的平方根提取出来，即给定一个数a，开平方就是找到另一个数x，使得x*x=a。我们用符号√表示开平方，所以√a表示a的平方根。^[1]

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（extraction of square root),其中a叫做被开方数。在实数范围内a必须大于或等于零，即a为非负数；在复数范围内，定义i的平方是，即-1的平方根是，记作。

开平方是平方的逆运算，只要我们知道平方的计算方法，开平方就迎刃而解了。

我们令10位数值为A，个位数值为B，即为，根据二数和的平方有：。

举例说明：例计算方法

1、，

2、，

3、，

4、将这些数，按两位分节合起来：。得。

将这些计算步骤倒过来，就是开平方。同理，可以得开立方及N次方的方法。

我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就出现了基于算筹的开平方法．后来又有北宋数学家贾宪进一步对开方术完善，形成了成熟的程序化开方方法：增乘开平方法

据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍。

1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；

2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；

3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；

4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（除256，所得的最大整数是 4，即试商是4）；

5．用所求的平方根的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中，说明试商4就是平方根的第二位数）；

6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．

如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．

例如求 的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到。

笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．

实例1　开方公式

例如，：

5介于2的平方至3的平方；之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取 中间值2.5。

第一步：；输入值大于输出值，负反馈；

即，取2位数2.2。

第二步：；输入值小于输出值，正反馈；

即，，，。取3位数2.23。

第三步：。

即,，，,取4位数。

每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。

例如.

200介如10的平方至20的平方之间。初始值可以取11，12，13，14，15，16，17，18，19。我们去15.

。取19也一样得出14：。

。

.

实例2　精确开方公式

对于一个要开平方的数C，先试估一个尽可能接近方根的数a，使得，且，则

例如，：

因为

所以，一次性得到了7位有效数字的精确度。