增乘开平方法

增乘开平方法是北宋数学家贾宪发明的开方算法，原收于《释锁算书》一书。贾宪原作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，并被抄入《永乐大典》卷一万六千三百四十四，幸得以保存下来。现存英国剑桥大学图书馆。

增乘开平方法是北宋数学家贾宪发明的开方法，原收《释锁算书》一书。贾宪原作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，被抄入《永乐大典》卷一万六千三百四十四，幸得以保存下来。

增乘开平方法，以商数乘下发递增求之。商第一位。上商得数以乘下发为乘方。命上商除实。上商得数以乘下发入乘方。一退为廉，下法再退。

商第二位。商得数以乘下发为隅。命上商除实讫。以上商乘下法入隅，皆名曰廉。一退，下法再退，以求第三位商数。

商第三位。用法如第二位求之。

把待开方数赋值给变量实。

廉：0；

下法：以100为底，不大于实的最大幕数（主要是为了把实以每2个数分为一组设置）

商：0；

步骤1：估商（x）,求最大的整数x（商）使得：

，

（估出的x（商）即为开方后当前位的数值，）

步骤2：更新廉：

步骤3：更新实：，若新实为0则表明开方完毕。

步骤4：再次更新廉：

步骤5：更新廉与下法：

（下法再退）

（与术文有差异，因为古法用算筹，现在用笔算，廉向下退一位，但相对于下法其实是进一位）

步骤6：以当前的 下法，廉，实 复上述步骤1~5，以求下一位的商，直到实或者达到要求的开方精度。

贾宪在纸上用书写方式将算筹码按十进位制布位。七万一千八百二十四分写两行，下行的步、十、百、千、万分离出来变为算筹的位值标签；上行七一八二四成为十进位制数码。

然后将算筹码依次排在相应的位值标签步、十、百、千、万之下。

杨辉以七万一千八百二十四为例，列出详细算草。算草分四行，被除数放在第二行，称为 实，第一行是商，第四行为 下法，第三行是廉。将算筹放在第四行万字之下。

初始计算（第一轮）-经过步骤1，2，3后的算筹结果：1估计第一个商数得2，将安置在第一行百位置之上。2将上商2乘下法1，得数2，放在第三行廉。3跟新实，实-廉*商数*下法（算筹中廉数是乘下法后的数，所以不用再乘下法）经过步骤4，5后的算筹结果：4跟新廉5下法与廉下移退下法两位，退廉1位步骤6，进入第二轮计算商的下一位置，重复步骤1~5-进过步骤1，21估商得62跟新廉：步骤3，跟新实步骤4，更新廉步骤5，6，并进入下一轮步骤1，25，更新下法与廉退下法两位，退廉1位6，1估商为82，跟新廉：步骤3，跟新实后实为0，开方完毕算草上的商即为开方后的结果：268-

用增乘开平方法得到的解：