塞瓦定理

塞瓦定理（英文：Ceva's theorem^[2]）是平面几何中的重要定理之一，^[8]用数学语言可表述为：设点D,E,F分别在三角形ABC的边BC,CA,AB或其延长线上，若AD,BE,CF三线平行或共点，则CE·AF·BD=EA·FB·DC。^[5]

公元1世纪左右，古希腊数学家梅涅劳斯（Menelaus of Alexandria）^[4]在著作《球面学》中介绍了一个关于平面三角形的理论，即著名的梅涅劳斯定理。^[9]但是，该定理却被遗忘了很长一段时间，即使在古希腊数学家欧几里得（Euclid）所著的《几何原本》一书中都无法查到。^[10][11]直到1678年，意大利数学家乔丹尼·塞瓦（Giovanni Ceva）^[4]重新发现了梅涅劳斯定理，并把它和自己所提出的塞瓦定理一同发表在著作《关于直线》一书中。^[3][5]

塞瓦定理可由多种方法证明，例如由相似三角形证法可推出三线平行的情形；由面积法^[5]、梅涅劳斯定理证法^[6]等可推出三线共点情形。它在圆内^[5]、平面闭折线^[12]、四边形^[13]和空间中^[14]都有相应的推论。广义欧式平面中，塞瓦定理具有推广形式。^[5][15]此外，塞瓦定理可以应用于复杂几何问题的求解，如它可以证明“过三角形三顶点平分三角形周长的三条直线共点”。^[16]

塞瓦定理表述为：设点分别在的边或其延长线上，若三线平行或共点，则。将三线平行或共点条件和结论互逆，即为塞瓦定理的逆定理形式。^[5]

角元形式：设点分别在的边或其延长线上，则三线平行或共点的充要条件是。^[5]

公元1世纪左右，古希腊数学家梅涅劳斯（Menelaus of Alexandria）^[4]在著作《球面学》中介绍了一个关于平面三角形的理论，即著名的梅涅劳斯定理：任何一条直线截三角形的各边，都使三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积。^[9]但是，梅涅劳斯定理却被遗忘了很长一段时间，即使在古希腊数学家欧几里得（Euclid）所著的《几何原本》一书中都无法找到。^[10][11]直到1678年，意大利数学家乔丹尼·塞瓦（Giovanni Ceva）^[4]重新发现了梅涅劳斯定理，并把它和自己所提出的塞瓦定理一同发表在著作《关于直线》一书中。^[3][5]

相似三角形证法

证明：如图1，在中，在上取一点，分别做平行于交的延长线于点，那么可得，由三角形相似可知，同理可得。^[6]

故，证毕。^[6]

面积证法

证明：如图2，在中，点分别在的边上。连接线段，它们相交于点。由三角形的面积关系，可知，

三式相乘可得，证毕。^[17]

梅涅劳斯定理证法

证明：如图3，在中，点分别在的边上。连接线段，它们相交于点。因为线段是的截线，所以由梅涅劳斯定理可得。类似地，线段是的截线，同理可得。^[18]

将乘以式可得，证毕。^[18]

交比的定义：设为共线四点，称为四点按此顺序的交比，记为。^[7]

引理：

（1）如图4，设三个顶点的坐标依次是，分别位于三边上的三个点共线的充要条件是它们的坐标表示为(其中为实数）。^[7]

（2）设是分别位于三边(或延长线）上的三个不同的共线点，点是三个顶点的对边上的三点，且，则三条连线共点的充要条件是。^[7]

证明：假定在分别是三角形三边上的无穷远点，那么，由任意两个通常点和它们所定的直线上的无穷远点所成的交比。此时有，。

同理，，于是，即塞瓦定理得证。^[7]

梅涅劳斯定理：设直线分别与的边（或边的延长线）相交于，则。^[1]

梅涅劳斯定理和塞瓦定理，从形式上来看它们的相似点如下：^[6][8]

（1）它们都使用有向线段，即的三边看成是顺次首尾相接的三条有向线段，它们分别被分点DEF分成分比；

（2）定理的结论不是通常的线段相等，或线段比相等，而是三个分比的连乘积：

（梅涅劳斯定理），

（塞瓦定理）。

其中蕴含着形式上的对称性，并且由梅涅劳斯定理还可以简洁地证明塞瓦定理。^[6][8]

设分别是的外接圆三段弧上的点，则共点的充要条件是。^[19]

设平面闭折线的顶点与不在各边或它们的延长线上的一点联结而成的直线，与直线交于点为,为)，则有。^[12][13]

设四边形相对的两组顶点和与不在四边形的边或它们的延长线上的一点联结而成的四条直线，与对角线和或它们延长线依次交于点和，则有。^[12][13]

设分别为四面体的棱上的点，若六个平面共点，则。^[5][14]

推论：

（1）设分别为四面体的棱上的点，若以下4个条件中

,,,；

有三个成立，则平面共点。^[5]

（2）设是四面体内一点，分别为与平面的交点，则有。^[5]

广义欧氏平面中是由欧氏平面附加一条由理想点组成的理想直线构成的，它具有以下性质：^[15]

(1）通常平面上的直线在广义欧氏平面上恰好包含一个理想点；

(2）一族平行直线具有一个共同的理想点，不同的平行直线族具有不同的理想点。^[15]

设位于广义欧氏平面内，是实数，分别是直线上的点，并且满足：。注意当时，是理想点。两点间的距离要设置符号，使。易验证：，以及。于是，。^[15]

如图所示，塞瓦定理指出：与共点的充分必要条件是。^[15]

引入三个附加点与，它们分别在直线与上，并且满足，其中是实数。^[15]

定理：与共点的充分必要条件是：。

如果分别与重合，则。于是由式可导出，这就是塞瓦定理的推广形式。^[15]

例题 求证：过三角形三顶点平分三角形周长的三条直线共点。^[16]

解：如图5，设的边，过顶点且分别平分周长的三条直线各交于点。设的周长为，则，解此方程组得。

同理可得，

。

于是有。由塞瓦定理可知，三直线相交于一点。^[16]

例题 如图6，设为内任意一点，的延长线交对边于点，交于。试证：。^[19]

证明：令，对及点，应用塞瓦定理，有。对及截线，应用梅涅劳斯定理，有。注意到，则有，即，故。^[19]

又对直线截，有。而，则，故。同理，对及截线，有，即有，故。^[19]

从而，

于是，。其中等号由中等号成立时成立，即当且仅当，亦即当且仅当，即时取等号。此时，和之间成为如图7的双曲线的关系。^[19]