反比例函数

反比例函数(inverse proportional function)是一类重要的数学函数，一般地，形如的函数叫做反比例函数，其中为常数，。反比例函数还可以表示为的形式。此外，反比例函数的自变量不能为0。反比例函数的定义域为^[9]，值域为^[9]。

反比例函数图像是一种特殊的双曲线，其焦点不在坐标轴上，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称^[10]。此外，反比例函数的图像既不可能与轴相交，也不可能与轴相交，其图像只能无限的接近于轴和轴^[9]。当比例系数时，反比例函数在上单调递减，在上也单调递减^[11]；当比例系数时，反比例函数在上单调递增，在上也单调递增^[11]。反比例函数是奇函数，它们的图像都是关于原点对称的^[12]。

反比例函数的历史可以追溯到古希腊时期。但是反比例函数的具体形式直到17世纪才得以确定。在17世纪，数学家约翰·沃利斯（John Wallis）首次将反比例函数引入数学中，并将其称为“比例之反”。他将反比例函数的形式表示为，其中为常数。沃利斯的工作为后来的数学家提供了基础^[13][14]。18世纪，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）对反比例函数进行了深入研究，并将其应用于数学分析和物理学中。随着数学的发展，反比例函数逐渐成为数学中的重要概念，在物理学、经济学、化学、建筑工程、病理生理学等领域中均有广泛的运用^[13][14]。

设是非空实数集，如果对于中的每一个，按照某个对应法则，都有确定的与之对应，则称是定义在上的的函数，记作，称为函数的定义域，称为自变量，称为因变量。如果是函数的定义域中的一个值，则称函数在点有定义。函数在点的对应值称为函数在该点的函数值，记作或。 当自变量在定义域内取每一个数值时，对应的函数值的全体称为函数的值域，记作^[15]。需要注意的是在函数的表达式中，表示函数关系，而表示对应于的函数值，两者是有区别的^[16]。函数的定义域是自变量的取值范围，而函数值则是由函数关系确定的，即只有当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，两个函数才是相同的^[16]。

一般地，形如的函数叫做反比例函数，反比例函数还可以表示为的形式。此外，反比例函数的自变量不能为0。当时，与两种表达式形式是等价的，反比例函数的定义域为,值域为^[11]。例如与均为反比例函数^[17]。反比例函数中，当时，值越大，反比例函数的图像越远离原点；值越小，越靠近原点。当时,值越大，反比例函数的图像越靠近原点；值越小，越远离原点。即比例系数的绝对值越大，反比例函数的图像距原点越远^[18]。

反比例函数的研究可以追溯到古希腊时期。古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus）在公元前4世纪提出了反比例的概念，但在古代，反比例函数的研究并不像其他函数那样深入。直到17世纪，反比例函数的研究才得到进一步推进。数学家约翰·沃勒斯顿（John Wallis）在1655年的著作《算术学与几何学》中，首次将反比例函数作为一种特殊的函数形式进行了讨论。他描述了当两个量成反比例关系时，它们的乘积保持不变。这为反比例函数的研究奠定了基础^[13][14]。

18世纪，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）对反比例函数进行了更加系统和深入的研究。他在其著作《分析通论》（Introduction in Analysin Infinitorum）中，对反比例函数的性质和图像进行了详细的分析和描述。欧拉的工作为反比例函数的理论奠定了基础，并为后来的数学发展提供了重要的支持。他对反比例函数的研究不仅包括其基本性质，还涉及到导数、积分等方面的研究，为进一步的应用提供了理论基础^[13][14]。

随着数学的发展和应用的拓展，反比例函数在物理学、经济学、工程学等领域得到了广泛的应用。例如，在牛顿第二定律中，物体的加速度与作用力成反比例关系；在电路中，电阻与电流成反比例关系等。反比例函数的应用还扩展到其他学科领域，如生物学、化学等。随着计算技术的进步，反比例函数的计算和应用变得更加便捷和广泛，为解决实际问题和推动科学发展做出了重要贡献^[13][14]。

在平面上到两定点的距离之差等于定长的点的轨迹叫做双曲线^[19]。两定点叫做双曲线的焦点，常用、表示，两焦距之间的距离叫做焦距^[19]。双曲线的标准方程为,它所表示的是双曲线的焦点在轴上，焦点是、,这里。若双曲线的焦点在轴上，焦点是，，则此时双曲线的标准方程为^[20]。

反比例函数图像是一种特殊的双曲线，其焦点不在坐标轴上，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称^[10]。

证明：在转轴公式中，即,令，得：,,以之代入方程得即或,故反比例函数为一条双曲线，它的渐近线为轴和轴。由的例子可知，一般地，反比例函数的图像一条双曲线^[21]。

反比例函数图像上的点具有两坐标之积为常数这一特点，即过双曲线上任一一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为常数。

推导：如下图所示，过双曲线上任意一点分别作轴与轴的垂线，所得的矩形的面积,因为,故,所以^[22]。

由于反比例函数中与都不为0，故反比例函数的图像既不可能与轴相交，也不可能与轴相交，其图像只能无限的接近于轴和轴^[9]。

设函数在内有定义，若对内的任意两点，当时，恒有,则称在内单调递增；若当时，恒有,则称在内单调递减，区间称为单调区间^[23][24]。单调递增函数的图像是沿轴正向上升的曲线，单调递减函数的图像是沿轴正向下降的曲线，单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数^[24]。

（1）当时，反比例函数图像的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，随着的增大而减小^[11]，即当时，反比例函数在上单调递减，在上也单调递减^[11]。

（2）当时，反比例函数图像的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，随着的增大而增大^[11]，即当时，反比例函数在上单调递增，在上也单调递增^[11]。

如果函数的定义域关于坐标原点对称（即若，则）,若对于任意的都有，则称为偶函数；若对于任意的，都有,则称为奇函数。偶函数图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称^[23]。

反比例函数是奇函数，它们的图像都是关于原点对称的^[12]。

设函数在区间上有定义，如果存在一个正数，使得与任一所对应的函数值都满足不等式,就称函数在内有界。若不存在这样的，就称在内无界^[23]。

不能笼统说反比例函数是无界函数还是有界函数，因为反比例函数在某些区间内是无界的，但是在某些区间内却又是有界的。例如反比例函数在开区间内是无界的；但是在开区间内是有界的^[23]。

设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在处有增量时，函数有相应的增量,如果极限存在，则称此极限值为函数在点处的导数，记作,,或即,此时称函数在点处可导；若上述极限不存在，则称函数在点处不可导^[24]。

反比例函数的导数为，例如函数的导数为^[15][16]。

在区间上，函数的带有任意常数的原函数称为在区间上的不定积分，记作,其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量^[25]。由定义可知，如果是在区间上的一个原函数，那么就是在区间上的不定积分，即^[25]。

设函数在上有界，在内任意插入个分点,把区间分成个小区间，各个小区间的长度依次为,在每个小区间上任意取一点,作函数值与小区间长度的乘积,并作和式,记,如果不论对区间怎么分法，也不论对小区间上点怎么取法，只要当时，和总趋近于确定的极限值，则称这个极限值为函数在区间上的定积分，记作,即，其中，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，为积分区间，为积分下限，为积分上限^[25]。

反比例函数的不定积分公式可表达为，例如函数的积分公式为^[26]

反比例函数在（,）的定积分为^[26]。

当两个相互有关的量和在变化过程中保持其比值不变时，称与为正比例，记作（是一个不为0的常数），常数称为比例系数。函数（是一个不为0的常数）叫做正比例函数^[27]。正比例函数的定义域和值域都是全体实数^[27]。

函数	图像		解析式	定义域	值域
正比例函数				全体实数	全体实数
反比例函数

以上内容来源于^[27]

函数(为任意实数)叫做幂函数，幂函数的定义域和值域都随的不同而有所不同。例如的定义域是，的定义域为。但是无论取什么值，幂函数在内总是有定义的，且图像都过点。反比例函数可以视为是幂函数的一种特殊情况^[28]，即反比例函数为幂函数中时的情形^[28]。

反比例函数是物理学中非常重要的概念，在物理学中应用十分广泛。例如：反比例函数可以用来描述电阻与截面积之间的关系，即电阻与截面积成反比关系。可表示为,其中表示电阻截面积^[5]。此外，反比例函数在物理学中还可用于表示衍射剧烈程度的中央衍射亮条纹的角宽度和衍射物线宽度的关系，其表达式为(单缝)^[29]。

反比例函数在建筑工程中有较为广泛的应用，例如，可用于表示卵石混凝土28天抗压强度与与配置混凝土时的水灰比之间的关系，可用式子表示为,其中为水泥标号，为实验系数^[30]。

反比例函数在化学中可应用于多个方面。例如反比例函数可用于描述一定量气体的体积与其所受压强之间的关系。当温度一定时，一定量气体的体积与其所受压强成反比。如果气体的压强增大,体积就缩小，单位体积内的分子数就增多，即单位体积内的反应物的物质的量增加,也就是反应物的浓度增加，因而反应的速率加快。相反，减小压强，气体体积就扩大，浓度减小，因而反应速率减小^[6]。

在经济学中，反比例函数应用也较为广泛。例如，反比例函数可以用来表示利率与货币需求的关系。一般情况而言，在利率较高时，无论哪一种动机的货币需求都会减少；反之，在利率较低时，货币需求就会增加，即利率和货币需求是反比例函数关系^[7]。此外，在经济学中市场需求函数也是一个反比例函数，市场需求函数可以表示为^[31]，其几何表示为一条经过初始价格和初始产量即经过的等轴双曲线^[31]。

在病理生理学中，反比例函数可用于描述动脉血的和肺泡通气速率之间的关系，可表示为^[8]。