加法

加法（addition），通常用加号“+”表示，是基本的四则算术运算之一。其余的是减法、乘法和除法。它是指将两个或者两个以上的数、量合起来，变成一个数、量的计算。进行加法时以加号将各项连接起来。^[4][5][6]

远古时期，由于工具有限，人们采用实物进行记数，数的产生和加法的引入，使记数更加方便快捷。^[7][8]据说，世界上通用的加法符号+，最早是出现在15世纪末的德国数学家乌布利希·瓦格涅尔的算术手抄本中，后来在德国数学家维德曼（J.Widmann，1460~16世纪）的一本数学印刷图书著作中，正式使用“+”作加，“-”作减，符号由此诞生。^[2][3][9]

加法具有交换律、结合律、单调律的运算规律。它是可交换的，这意味着顺序并不重要；它又是相互关联的，这意味着当添加两个以上的数字时，执行加法的顺序并不重要。重复加1与计数相同；加0不改变结果。数的加法一般遵循逢十进一的进位法则。在算术中，已经设计了涉及分数和负数的加法规则，在实数运算中依据绝对值差异确定结果符号。^[6][10]在离散数学中，与加法相关的概念有单位元、逆元、后继。加法运算可通过集合合并或线段延长进行直观解释。同时，一些其他的数学研究对象，如矩阵、向量、函数等都可以进行加法的运算。^{[11][12][13][14][15][16]}

加法的定义：一般地，如果给定一个自然数，在自然数列中，从以后的数，连续数出个数来，与数对应着自然数列的一个确定的数。这个数可表示为，相加的两个数叫做加数，叫做数与的和。从数与数可以得出一个新数，叫做二数的和。由已知加数构成和的运算叫做加法。^[6][9]

加法，通常用加号“”表示，是基本的算术运算之一，与减法、乘法、除法合称“四则运算”。加法基本的运算定律有：交换律、结合律和单调律。^[6]

原始记事方法的发明，至少可以追溯到旧石器时代的晚期。人类为了帮助记忆、表达思想和交流信息使用各种各样的原始记事方法，积累了丰富的经验和智慧，并在生产劳动中逐渐有了记数的需要。^[7][8]

实物记数，是原始人类以实物来记录数字的方法之一。远古时期，并没有计数工具，为了计算劳动收获和分配所得，人们往往会借助手指、足趾或身体的其他部位来计算数字。于是，原始人类又发明了结绳记数和木刻记数等符号的记数方法。后来人们所发明的这一些记数符号就叫作数字。^[7][8]

后来，随着十进制、二进制等进位法则的诞生，人们开始通过加法的运算进行记数。^[6][7][10]为了方便计算，人们发明了各种各样的计算工具。在几千年前，古代中国人使用算筹计算，并发明了算盘。17世纪，英国人发明了计算尺和机械计算器。直到20世纪40年代，美国诞生了世界上第一台电子计算机，再到现今的电子计算器。随着科学技术的进步，电子计算机的运算速度不断提升，神威·太湖之光超级计算机1秒钟能计算超过十亿亿次。^[17]

埃及纸草书可能是世界上最古老的数学文献，早在那个时期就已经使用象形文字来表示加法和减法的运算。德国数学家雷格蒙塔努斯（J.Regiomontanus，1436~1476年）曾试图翻译丢番图的著作，在他的手稿中使用“et”表示加号，如写成，“et”是拉丁文中的“加”，而现在世界通用的加法符号“”，据说最早是出现在15世纪末的德国数学家乌布利希·瓦格涅尔的算术手抄本中，至今仍保存在德国德累斯顿市图书馆。在手抄本的卷中有两个算式：1& +2&和10 - 1&，相当于现在的和，首次使用了符号“”和“”。最先在正式印刷出版的数学书上使用符号“”和“”的是德国数学家维德曼，他在1489年出版的一本算术书中使用了这两个符号来表示加和减，直到1603年，经过法国数学家韦达（Francois Viete）的宣传和提倡，逐渐地传到欧洲其他国家及全世界，这两个符号才成为今日世界通用的数学符号。^[2][3][9]

数加数与数加数，其和的不变性叫做加法的交换律。

即^[6]

求几个数的和时，可以把任意加数分成组，各组进行加法，然后再把所得的结果相加，所得的和不变。这叫做加法的结合律。即^[6]

若，那么若，那么若，那么^[6]

二进制数有两个数字符号，根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为：

(进位为1)^[10]

例如：和相加过程如下：

十进制数有共个阿拉伯数字符号，是以为基数，逢十进一。^[10]

在离散数学中，与加法相关的概念有单位元、逆元、后继。此外，加法的单位决定了对象是否可以相加。^[11][12][13]

在自然数集上，是加法的单位元。对任意的自然数 ，都有^[11]

在整数集合中，对任何整数，加法的逆元是，满足^[11]

在自然数中，加数为的加法有特殊意义：对于任何自然数，是大于的最小整数，称为的后继数。^[12]

加法的目的是把部分合并成全体，各加数是部分，和是全体。同单位的部分可以相加，单位不同的部分不可相加。^[13]

例如：3条鱼和2块肉无法直接相加。如果改用重量，那么3斤鱼和2斤肉可相加，和是5斤。

一般地，大于的数，叫做正数。在正数前面加上符号“”（负）的数，叫做负数。^[18]

正、负整数和统称为整数；正分数和负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数（rational number）。^[18]

有理数加法法则：

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；^[注1]

2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得；

3.任何数加仍得原数。^[18]

例如：

有理数中，分数的加法可以用过将分母化为一致进行计算。^[19]

一般地，把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，就叫分数。像这样的数，叫做分子，叫做分母。^[20][21]

1.同分母分数加法：同分母分数相加，分母不变，只把分子相加。^[19]

例如：

2.异分母分数加法：异分母分数相加，先把它们通分转化为同分母分数，然后按照同分母分数加法进行计算。^[19]

例如：

通常地，分数运算的计算结果，能约分的要约成最简分数。^{[注2][20][19][22]}

无限不循环小数叫做无理数，如都是无理数。有理数和无理数统称实数。^[23][24]

在进行无理数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。^[23]但需要注意的是，对于平方根这类无理数，需化成最简二次根式才能相加；而对于其他的无理数（如），它们只能与自身的倍数相加。^[25]

例如：

集合中的数，即形如的数叫做复数（complex number），其中叫做虚数单位（imaginary unit），全体复数所成的集合叫做复数集（set of com-plex numbers）。复数通常用字母表示，即，这一表示形式叫做复数的代数形式（algebraic form of complex number）。对于复数，都有，其中的与分别叫做复数的实部（real part）与虚部（imaginary part）。^[26][27]

复数相加，只将实数部分和虚数部分分别相加，即 ^[26]

向量可以用一条有向线段来形象地表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量）。^[14][28]

一般地，平面上任意给定两个向量，在该平面内任取一点，作，作出向量，则向量称为向量与的和 （也称为向量与的和向量）。

向量与的和向量记作，因此有^[14]

一般地，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和。平面上任意给定两个不共线的向量，在该平面内任取一点，作^[14]

以为邻边作一个平行四边形，作出向量

因为，因此有^[14]

矩阵的概念：由个数排成行列的矩形数表

称为矩阵，记作，其中称为矩阵第行，第列的元素，简称为矩阵的元。^[29]

矩阵的加法运算：设，称为矩阵与的和，记作，即^[15]

只有相同大小的两个矩阵才能进行加法运算。^[15]

例如：

自然数加法的一个扩展即是集合论中的序数和基数的加法。

序数的定义：令是一个集合，如果集合中的每一个元素都是的一个子集且对于的每一个非空子集，存在一个的最小元素，使得所有的，都有，则称是一个序数。^[30][31]

基数的定义：当且仅当集合的元素与集合的元素之间存在着一一对应关系，那么称集合和集合是等势的，所有与集合等势的集合所组成的集合，叫作集合的基数。^[32]

不同于加法运算的是，序数的加法不满足交换律。在有穷基数的情况下，基数的加法满足交换律和结合律。^[33][34][35]

函数的定义：在某一变化过程中，有两个变量和，如果对于在某一范围内的每一个取值，按一定法则，都有确定的值与之对应，则称是的函数（function）。记作或或^[36]

函数的加法运算：根据函数的定义可知，不同的函数通过加法运算可以构成一个新的函数。^[16]

例如：，那么