初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

初等矩阵

初等矩阵（英文：Elementary matrix）是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，属于矩阵的一种，是代数学的概念之一，是数学研究和应用的工具。[3][4]中国古籍《九章算术》中有类似初等矩阵概念。在欧洲，数学家高斯（F.Gauss）提出相关概念，其高斯消元法，即现在的矩阵初等变换。[5][6]矩阵一词由英国数学家西尔维斯特（Sylvester）在1850年首先提出。之后英国数学家凯莱（Cayley,A）摆脱线性变换和行列式，将矩阵作为独立的研究对象。[3][7][8]之后，矩阵理论体系不断发展壮大，在多个领域都有所应用。[0][3][7]

初等矩阵（英文：Elementary matrix）是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，属于矩阵的一种，是代数学的概念之一，是数学研究和应用的工具。[4][5]

中国古籍《九章算术》中有类似初等矩阵概念。在欧洲，数学家高斯（F.Gauss）提出相关概念，其高斯消元法，即现在的矩阵初等变换。[6][7]矩阵一词由英国数学家西尔维斯特（Sylvester）在1850年首先提出。之后英国数学家凯莱（Cayley,A）摆脱线性变换和行列式，将矩阵作为独立的研究对象。[4][8][9]之后，矩阵理论体系不断发展壮大，在多个领域都有所应用。[1][4][8]

初等矩阵的转置仍是初等矩阵，具有三种初等变换，分别为行切换转换[注1]、行乘转换[注2]、行加转换[注3]。[10][11]初等矩阵在生活中有着广泛的应用，适用于数学、计算机科学、密码学等领域。[2][3][12]

历史

中国古籍《九章算术》中有类似概念，用算筹列出“方程，令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行。”然后遍乘直除（今称矩阵初等变换）。在欧洲，是由数学家高斯提出相关概念，把一个线性变换的全部系数作为一个整体，其实质就是矩阵；高斯消元法，即现在的矩阵初等变换。[6][7]矩阵一词由英国数学家西尔维斯特（Sylvester）在1850年首先提出。此后英国数学家凯莱（Cayley,A）摆脱线性变换和行列式，将矩阵作为独立的研究对象，并引进矩阵的基本概念和运算，诸如矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、矩阵的和、矩阵的乘积、矩阵的逆、转置矩阵，对称阵等；并借助行列式定义了方阵的特征方程和特征根。[4][8][9]

1878年，数学家弗罗伯纽斯（Frobeniws）给出正交矩阵的定义和矩阵秩的概念。此后，矩阵理论体系不断发展壮大，在多个领域都有所应用。[1][4][8]

詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特华画像
詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特华画像

定义

初等矩阵指的是三种形状简单且经常使用的方阵统称，由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵。[5]

行乘转换

以中的一个非零的数乘矩阵的某一行。

其中[5]

逆矩阵为：[13]

是第一种初等矩阵为将矩阵的第3行的元素乘以2后得到的矩阵，

例如

为将矩阵的第3列元素乘以2后得到的矩阵，

例如[14]

行加转换

将矩阵的某一行（列）的倍加到另一行（列），这里为中的任意一个数。

其中[5]

逆矩阵为： [13]

是第2种初等矩阵为将矩阵的第3行元素乘以加到第2行对应的元素上得到的矩阵，例如

为将矩阵的第2列元素乘以加到第三列对应的元素上得到的矩阵，

例如 [14]

行互换

互换矩阵中两行（列）的位置，其中，变换1，2

初等矩阵都可逆，且其逆矩阵仍为初等矩阵，即

初等变换和初等矩阵的关系式：用第种初等矩阵左（右）乘矩阵，相当于对的相应行（列）施行第种初等变化；反之亦然。[5][13]

是第三种初等矩阵则为交换矩阵的第1行和第2行得到的矩阵，例如

为交换矩阵的第1列和第2行得到的矩阵，

例如[14]

性质1

初等矩阵的转置仍是初等矩阵。[11]

性质2

用初等矩阵左（右）乘，所得就是对矩阵作了一次与同样的行（列）初等变换。[15]对矩阵做初等行变换，其作用是在矩阵的左边乘上一个初等矩阵对矩阵做初等列变换，其作用是在矩阵的右边乘上一个相应的初等方阵。[16]

性质3

初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵，例如

即，[15]

性质4

当是可逆矩阵时，则可作一系列初等行变换化成单位阵，即存在初等矩阵使得[11]

几何意义

一个几何图形乘以一个矩阵，就会对这个图形进行一个线性变换或矩阵变换。一组向量的线性相关性必然会体现在这组向量的数组之间的关系上，因此我们定能通过向量之间的线性运算把这个关系揭示出来。[17]

二阶初等矩阵

这里被变换的图形是一个位于第一象限内的三角形或正方形，它们由单位矩阵生成，变换后的像位于其他象限内。[17]

三阶初等矩阵

基本初等矩阵（1）所表示的几何变换：可以从线性变换矩阵的逆定理推得。首先是三阶单位矩阵 行向量张成的图形，就是第一象限的立方体，在互换的换行矩阵作用下，立方体仍然在第一象限，只是图形以平面为对称面进行了镜像变换。[18]

2.

基本初等矩阵（2）的变换是：对图形实施的在某一坐标轴方向的伸缩变幻。[19]

设是平面上的任意一点，点经基本初等矩阵和分别实施变换后，所得结果为和。是把在轴方向的坐标伸缩倍而在轴方向的坐标不变而便得到的，是把点在轴方向的坐标伸缩倍而在轴方向的坐标不变而得到的。[19]

3.

基本初等矩阵（3）的几何变换是：对图形实施的在某一坐标轴方向的切变变换，其几何意义需要结合物理中的切变说明。[20]

单位矩阵

阶数量矩阵，对角线上元素，则将其称为阶单位矩阵，记作，即

对任意矩阵，显然有，可见，矩阵中的，相当于数中的。[21]

非奇异矩阵

非奇异矩阵，又称非退化矩阵、满秩矩阵，一种重要而应用广泛的特殊矩阵。数域上行列式的阶矩阵称为非奇异矩阵；如果则成为奇异矩阵或退化矩阵、降秩矩阵，矩阵是非奇异的，当且仅当是可逆的或可表为若干个初等矩阵的乘积。[5]

分块矩阵

分块矩阵是一种特殊矩阵，把矩阵用纵线与横线分成若干块，每个小块称为此矩阵的子块或子矩阵，分成子块的矩阵，称为分块矩阵。[22]

设分块矩阵：

其中是矩阵 的子块，则其转置矩阵为[22]

矩阵的等价

定义：也称矩阵的相抵，矩阵间的一种等价关系。[5]

矩阵等价的充分必要条件：存在一系列初等矩阵 使得即存在阶和阶可逆矩阵与使得矩阵的等价具有自反性、对称性和传递性，即是一种等价关系。[5]

逆矩阵

设为阶方阵，如果存在阶方阵，使得则称是可逆矩阵，且为的逆矩阵，记作，即[23]矩阵A可逆的充要条件是它能表示成有限个初等矩阵的乘积。[24]

左行右列

对矩阵做初等行变换，其作用是在矩阵的左边乘上一个初等矩阵对矩阵做初等列变换，其作用是在矩阵的右边乘上一个相应的初等方阵。[16]

初等矩阵的定理

1.对矩阵左乘一个初等矩阵，相当于对作相应的行变换；对矩阵右乘一个初等矩阵，相当于对作相应的列变换。[25]

2.所有的初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵均为同类型的初等矩阵。[25]

3.矩阵可逆的充要条件是它能表示成有限个初等矩阵的乘积，即其中均为初等矩阵。[25]

数学领域

线性方程组是线性代数的主要内容，其求解过程是：第一判断其是否有解，第二，有解的话，有多少个解。可采用行列式解和矩阵两种方式求解，矩阵的初等变换同矩阵的乘法之间有密切的关系，而这种关系可以通过初等矩阵来反映。[12][26][27]

计算机科学

初等矩阵法计算线规划问题，要涉及到阶数为变量数的方阵之间的乘积；以及这类方阵左乘或右乘向量的计算，因而难以求解大型线性规划问题。实际上只要巧妙安排程序，可以节省很多计算。其内存需求量仅和约束系数矩阵的元素量相当。[2]

密码学

密码学识信息编码与解码的技巧，其中有一种是基于逆矩阵的方法。首先在英文和数字之间建立联系，然后通过矩阵变换后发出，接受者可以通过解码，即逆矩阵恢复明码，得到相应的信息。[3]

参考资料 27

  1. 参考 1
  2. 参考 2
  3. 参考 3
  4. 参考 4
  5. 参考 5
  6. 参考 6
  7. 参考 7
  8. 参考 8
  9. 参考 9
  10. 参考 10
  11. 参考 11
  12. 参考 12
  13. 参考 13
  14. 参考 14
  15. 参考 15
  16. 参考 16
  17. 参考 17
  18. 参考 18
  19. 参考 19
  20. 参考 20
  21. 参考 21
  22. 参考 22
  23. 参考 23
  24. 参考 24
  25. 参考 25
  26. 参考 26
  27. 参考 27

注释

  1. 交换矩阵的两行或两列
  2. 将矩阵某一行(列)的元素都乘以同一个不等于0的常数k
  3. 将阵的某一行(列)的元素同乘数k后加到另一行(列)的对应元素上
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