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余数定理（Polynomial remainder theorem）是指一个多项式f(x) 除以一个线性多项式(x-a)的余数是 f(a)。若f(a)=0，则(x-a)为多项式f(x)的因式。例如，(5x³+4x²-12x+1)/(x-3) 的余式是 5·3³+4·3²-12·3+1=136。
设n为大于1的奇数，当连续整数列：0，1，2，3，…，n-1各项都分别乘以一个与n互素的自然数m，再除以n后，若把所得余数按从小到大的顺序排列起来仍为0，1，2，3，……，n-1共n项的连续整数列。
介绍
证明
根据除法的定义及性质可知，。
设多项式 除以一次式 所得的商为，余数为R，根据上面的性质可以列出下列恒等式：
令x=a，代入上式即得，因此得到结论：除以 后的余数。
注意：若除式不为 的类型，依然可以利用上面的方法来求余数（式），即先求出使除式为0的x的值，再代入恒等号两边。
推广形式
设 是 n 个不同的数，而，对任意多项式 用除所得 的余式为
一次项系数不为1
例：求 的余数。
解：在这里，使除式为 0的，所以余数为。
除式次数大于1
例1：求 的余式。
解：由于除式是2次多项式，所以设余式为（余式的次数要比除式低1）。
的解为 或，代入恒等式 的两边得：
解得。
故余式为
例2：求 的余式。
解：除式的次数为3，所以设余式为。由于的解为或，代入恒等式得：
出现等式个数少于待定系数的个数时需要把恒等式两边对x求导，再把解代入求导后的等式中。
对 左右两边求导得
再把代入，得到第三个等式：
解方程组得
所以余式为
因式分解
推论
如果数a是多项式的根(即)，那么用去除这个多项式没有余数。
例如，从这个定理可以知道，用去除多项式，没有余数,事实上，用a代替x得到。建议读者证明：多项式和能被除尽。
应用
余数定理可以用来求余数，要求除以一次式时，只需以b代入多项式f(x)中的x即得，在计算时以用综合除法为便。余数定理主要用于分解因式，若能检验出有一个常数b能使，则就有了一个因子在解方程的过程中，可以逐次用视察法与综合除法结合，求出的一个因式，就可以将求解的方程次数降低一次。
中国余数定理
一盘围棋下完后，同学甲突然问同学乙:“棋盘上黑子有多少?”同学乙将棋盘上黑子数了一下，似乎有所悟，只是说:“如果三个三个地数，最后余下两个，五个五个地数，最后余下三个，七个七个地数，最后余下四个。棋盘上黑子的数目正好符合这个情况。”说完他们俩都会心地笑了。
棋盘上黑子到底有多少个呢?原来他们正好碰上类似《孙子算经》中讲到的一道题了。《孙子算经》是我国古代的一部优秀数学著作。对这类问题，我国古代数学史上还称为“鬼谷算”、“秦王暗点兵”、“剪管术”、“隔墙算”、“神奇妙算”、“大行求一术”等等。
这个问题的解法并不难。用数学语言叙述这道题就是:
某数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求某数。我们先来考虑一下什么数除以3余2?很清楚，既然2是余数，那么把2再加上3得5，5除以3还是余2。继续这样做，得8，它除了除以3余2外，而且除以5余数是3。8是同时满足上述问题中，“三个三个地数，最后余下两个，五个五个地数，最后余下三个”这两个条件的。最后再在8这个数上每次加15(3和5的最小公倍数)。
，
，
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我们发觉53不但除以3余2，除以5余3，而且被7除余4。这样答数就是53了。当然，53是符合上述问题要求的最小一个正整数，除此之外还有；
，
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等等，它们都有此性质。一个棋盘上共有192=361格，这两位同学经过了一百多次来回的厮杀，才宜告战斗结束。于是可以知道棋盘上黑子共有158个。这个问题的解题思路是，先从用3去除余2的数中去找用5去除余3的数，再从“3除余2，5除余3”的数中去找用7去除余4的数，并得到答数。古人经过精心研究，找出解题规律，并用口诀形式来表示；
“三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。”
它的意思是:用70乘“3除”所得的余数，21乘“5除”所得的余数，15乘“7除”所得余数，然后总加起来。如果它大于105，则减105，还大再减，直到最后得到答数。
具体算式是 :
，
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这里挑选了70，21，15去乘余数，主要是考虑到70是3除余1，5与7都除尽的数；21是5除余1，3与7都除尽的数；15是7除余1，3与5都除尽的数；而105又是3，5，7都能除尽的数。
有了这个口诀后，我们可以做各种各样余数的这一类题目了。不妨再举一例:某数除以3余1，除以5余2，除以7余6，求某数。
具体算法如下；
，
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所以某数是97。验算一下果真不差。
这个向题以及它的解法得到世界各国的数学家重视，大家都把它叫做“孙子定理”或“中国余数定理”。而且在电子计算机的设计中也有它的重要应用。