中心矩

中心矩是概率论和统计学中的一个重要概念，它是关于随机变量平均值的概率分布的特征数。中心矩可以反映概率分布的特征，特别是高阶中心矩，它们仅与分布的形状有关，而不受分布位置的影响，因此比原点矩更为常用。

在数学的概率领域中有一类数字特征叫矩。

中心矩：对于正整数k，如果E(X)存在，且，则称为随机变量X的k阶中心矩。如X的方差是X的二阶中心矩，即.

设X,Y为随机变量，如果存在，则称之为X与Y的阶混合中心矩.

协方差是X和Y的二阶混合中心矩.

对于一维随机变量X，其k阶中心矩μ_k定义为：

μ_k = E[(X - E[X])^k] = ∫(x - μ)^k f(x) dx

其中μ是随机变量X的期望值，f(x)是X的概率密度函数。中心矩的前几阶具有明确的意义：

- 第0阶中心矩μ_0恒为1。

- 第1阶中心矩μ_1恒为0，因为它是随机变量减去其期望值的期望。

- 第2阶中心矩μ_2是随机变量X的方差Var(X)。

- 第3阶中心矩μ_3用于定义随机变量X的偏度。

- 第4阶中心矩μ_4用于定义随机变量X的峰度。

中心矩具有平移不变性，即对于任意的随机变量X和任意常数c，有：

μ_n(X + c) = μ_n(X)

中心矩是n次齐次函数，即：

μ_n(cX) = c^n μ_n(X)

只有当n属于{1,2,3}，且X和Y为两个互相独立的随机变量时，中心矩才具有加法性，即：

μ_n(X + Y) = μ_n(X) + μ_n(Y)

对于n ≥ 4的情况，中心矩不再具有加法性，但累积量κ_n在这种情况下仍保持加法性。累积量是与中心矩类似的统计量，它在所有阶数上都具有加法性。