黎曼几何

黎曼几何（Riemannian geometry）是数学的学科分支，它研究的是黎曼流形，是一种弯曲和扭曲的几何客体^[5][6]。黎曼几何中没有平行于给定直线的线；有限长度的直线可以无界连续延伸，但所有直线的长度都相同^[2][3]。

1845年，乔治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）把欧氏几何、罗氏几何、黎氏几何统一起来，用来描述弯曲和扭曲的几何客体^[6]；1854年，乔治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼发表《论作为几何学基础的假设》正式创立黎曼几何^[1][3]。1916年，阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）在广义相对论中运用黎曼几何，使其研究和应用更加广泛^[1][7]。之后，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）撰写《空间、时间与物质》对黎曼几何进行第一次系统性阐述^[8]。

黎曼几何的概念不仅是广义相对论的基础，也是现代量子场论和理论基础粒子物理学的基本概念^[7]，并在数学、物理学、地质学、计算机科学等领域都有广泛的应用；如描述地震波传播和水声射线传播、计算机视觉等^{[1][4][9][10]}。

黎曼几何研究的是黎曼流形，它是一种弯曲和扭曲的几何客体^[5][6]，属于一种非欧几里得几何^[2]。黎曼几何中没有平行于给定直线的线；有限长度的直线可以无界连续延伸，但所有直线的长度都相同^[2][3]。

定义了黎曼度量（Riemannian metric）的流形（光滑流形）称为黎曼流形（Riemannian manifold），记成^[11]。

在一个维微分流形上，对每一点的切空间，赋予一个正定的双线性内积函数，使其成为一个内积空间，并对上的点来说，内积函数是光滑的，则成为一个黎曼流形，记成。符合以下要求：对任意两切矢量，映射是双线性的，并且；对任何，有，时，等号成立；若为上两个光滑的矢量场，则为上的光滑函数^[12]。

19世纪前半叶，综合的射影几何学得以复兴，解析几何学体系逐渐成熟，为代数几何学、微分几何学、线性几何学等奠定了基础；同时非欧几何学思想的诞生打破了欧氏几何学一统天下的局而；这个时期也是乔治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼的几何思想形成的关键时期，其中，约翰·弗里德里希·卡尔·高斯（Johann Friedrich Carl Gauss）对他的影响比较重要^[13]。

1827年，约翰·弗里德里希·卡尔·高斯发表了《关于曲面的一般研究》，为微分几何注入了全新思想，他所建立的内蕴几何学，开辟了内蕴微分几何的研究领域，这直接为乔治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼的工作创造了条件^[13]。

乔治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼19岁时，进入乔治·奥古斯都·哥廷根大学读书，在听了约翰·弗里德里希·卡尔·高斯几次数学讲座之后，他下决心改修数学^[14]。在约翰·弗里德里希·卡尔·高斯的影响下，乔治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼提出定义维流形曲率的概念，这是约翰·弗里德里希·卡尔·高斯关于曲面总曲率概念的推广；他还引入流形，使几何学由图形的研究转变为对流形的研究^[13]。

除约翰·弗里德里希·卡尔·高斯外，约翰·弗里德里希·赫尔巴特（德语：Johann Friedrich Herbart）的哲学思想、乔治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼在物理学研究上得到的启发，也都对黎曼几何的建立产生了推动作用^[13]。

乔治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼在研究物理学上认为只有将几何建立在连续的无穷小分析上才能将各种力统一起来，在构造物理空间的几何知识基础时，将拓扑关系与度量关系区分开。约翰·弗里德里希·赫尔巴特强调定义更一般空问的重要性，乔治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼在1854年的演讲曾提到自己受其哲学思想的影响^[13]。

1845年，德国数学家乔治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼从更高的角度把欧氏几何、罗氏几何、黎氏几何统一起来，用来描述弯曲和扭曲的几何客体，称黎曼几何^[6]。1854年，乔治·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼为申请乔治·奥古斯都·哥廷根大学的教职，发表名为《论作为几何学基础的假设》的演讲论文，标志黎曼几何正式创立^[1][3]。

1916年，阿尔伯特·爱因斯坦发表了《广义相对论的基础》（Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie）一文，在广义相对论中运用黎曼几何和张量分析工具，使黎曼几何的研究和应用更加广泛^[1][7]。

1916年阿尔伯特·爱因斯坦提出广义相对论后，德国数学家、物理学家赫尔曼·外尔发表了一系列著作及论文对黎曼几何进行系统阐释和发展，其关于广义相对论的课程讲义《空间、时间与物质》是对黎曼几何的第一次系统性阐述；1919年，赫尔曼·外尔对《论作为几何学基础的假设》进行了逐条解释^[8]。

黎曼几何是描述弯曲空间的几何。以原点为圆心，以为半径的球面是一个二维曲面，在三维空间中可以利用三个独立变量的方程来描述；假设在这个二维球面（即二维流形，只有两个独立变量）上来审视这个球面，采用两个独立变量来描述这个曲面上两点的距离及其它的几何量，首先需要选取球面上任何一点的邻域，当此邻域选取得足够小，可以将此邻域看成一个二维的小平面，即这个小邻域与一个二维平面（二维的平直空间）同构^[10]。

然后就可以用二维平面上的自然坐标系作为球面一点的小邻域坐标来描述这个邻域，构成这个邻域的局域坐标。球面上相邻两点的小邻域用两个不同的平面坐标即两套局域坐标来描述，可得到这两套坐标间的坐标变换，即转换函数（雅可比函数）；因为所研究的曲面是光滑的，所以转换函数是非奇异的^[10]。

将整个曲面（球面）看成由无穷多个小平面拼接而成，转换函数是由曲面的性质所决定的；在此基础上，可以定义曲面上相邻两点的距离。黎曼几何就是建立在这种思想框架上描述弯曲空间的几何学^[10]。

设是一个维流形，上的度量场是一种映射，在的每一点的切空间中定义了一内积，使每一点对应函数满足以下条件：

双线性：；对称性：；正定性：，。

对于，上的度量场定义了上的实值函数，则，如果，则称为黎曼度量^[11]。

设是黎曼流形上一线性联络，称为度量联络，，；黎曼流形上由度量所确定的唯一无挠率线性联络称为黎曼联络（Riemannian connection）^[15]。

黎曼流形上黎曼联络决定的曲率算子叫做黎曼曲率；利用黎曼曲率可以定义截面曲率等几何量。设是黎曼流形上的黎曼联络，是曲率算子，叫做黎曼曲率^[16]。

如果对于黎曼流形的每一点，并且对于的任何一个平面截面，截面曲率是同一常数，即，对于，，则称为常曲率黎曼流形，或简称常曲率流形^[17]。

设是维黎曼流形，（为维流形），是围绕的坐标域，局部坐标是，，是上过点的一条光滑曲线，，（设），是的切向量，，命，并且；维黎曼流形上的一条曲线称为测地线^[18]。如果：，用局部坐标表示测地线方程为：，^[18]。

基本定理：黎曼流形上存在唯一的黎曼联络^[19]。

证明：设是上的黎曼联络，对任意向量场：

三式相加，化简得到：

，该式等号右边与黎曼联络无关，由于是任意的，该式定义了，这证明如果黎曼联络存在，那么它是唯一的^[19]。

等式定义的映射是上的黎曼联络，将等式中的用替代得：

，这证明成立^[19]。

交换等式中的得：，与等式相减得：，这证明成立；类似可以验证满足联络与黎曼联络定义的所有条件，是上的黎曼联络^[19]。

博内-迈尔斯定理（Bonnet-Myers Theorem）：设是一个完备的黎曼流形，里奇曲率（Ricci曲率）对于所有的，都满足，其中是独立于的正常数^[20]。

黎曼几何是对空间与几何概念的深入研究，是所有几何的基础^[1]；在地质学、物理学、计算机科学等领域都有广泛的应用，如描述地震波传播和水声射线传播、计算机视觉等^{[1][4][9][10]}。

地震波在复杂介质中传播的弯曲特性，符合黎曼流形的几何特性；从描述弯曲空间的黎曼几何出发，建立复杂介质中波场走时的黎曼流形，复杂介质中的地震波沿黎曼流形中的测地线传播；同时，复杂介质中的标量波动方程亦可由黎曼流形中协变的标量波动方程来描述^[10]。

利用速度模型建立走时场的黎曼流形，实质上就是把复杂介质的特性转换成空间特性，由速度分布函数描述了走时场空间的弯曲特性。在这一弯曲空间中，波前射线即为测地线（弯曲空间中的“直线”），波动方程即为黎曼流形中的标量波动方程。这样黎曼 几何对黎曼流形上曲线、曲面及波动的描述都可以应用到对复杂介质中地震波前射线和波动方程的讨论中，由此得到的许多结论对射线追踪的走时计算和反演问题的处理有重要价值^[10]。

采用黎曼几何方法描述地震波在复杂介质中传播的问题，可以深化对几何射线和波动方程的认识，提高对射线追踪和地震波场 的计算能力，同时也为复杂介质中的波场变换提供了一种可能的研究途径^[10]。

水声建模一般采用外嵌描述，即以欧氏空间固定坐标系等要素刻画水声信道，黎曼几何是弯曲空间上的内蕴几何学，更能反映流形的本质性质^[9]。

通过建立水声射线传播的黎曼几何基本理论，得到程函方程、动态射线方程及高斯波束模型的黎曼几何内蕴形式，分析水声射线几何拓扑性质；并指出水声射线模型中的焦散点等价于黎曼几何中的共轭点，高斯波束几何扩展是测地线沿雅可比场的偏离，波束声线会聚体现为声场正截面曲率作用下偏离的测地线在共轭点的交汇^[9]。

采用黎曼几何建立高斯波束模型的内蕴形式，其主要工作如下：基于最小作用量原理，在水声射线走时黎曼度规下，给出黎曼流形上的水声测地线程函方程；利用雅可比场理论建立一般径向对称声传播环境下的高斯波束黎曼几何模型，揭示水声场射线的拓扑性质^[9]。

计算机视觉中图像与黎曼流形的关系主要体现在两个方面，一方面是图像中目标发生的几何变换在流形空间中的分布；另一方面是图像特征空间构成了图像在黎曼流形空间中的几何分布^[4]。

例如：在目标跟踪过程中，图像的几何变换构成特殊线性群（群）；图像序列和视频可以依据特征子空间进行建模，从而具有流形结构；在图像处理与模式识别领域中，协方差矩阵作为图像的特征表征，具有良好的正定对称结构，进而可以利用正定对称进行流形建模^[4]。