阿贝尔判别法

阿贝尔判别法（Abel Discriminance）是分析学中一条十分重要的判定法则，与狄利克雷判别法（Dirichlet Discriminance）合称为A-D判别法。主要用于判定数项级数的收敛、函数项级数的一致收敛、反常积分的收敛以及反常含参积分的一致收敛等。阿贝尔判别法有两种不同的形式，一个是用来判断实数项级数的收敛，另一个是用来判断复数项级数的收敛。

若数列单调有界，级数 收敛，则数项级数 收敛。

若函数列 对于每一个固定的 单调，在D上一致有界，即 ,且函数项级数 在D上一致收敛，则函数项级数 在D上一致收敛。

阿贝尔判别法也适用于复数项级数，特别是用于判断幂级数在收敛圆的边界上的收敛性。如果 \(\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = 0\)，而级数 \(f(z) = \sum a_nz^n\) 在 \(|z| < 1\) 是收敛的，而在 \(|z| > 1\) 时发散，且系数 \(\{a_n\}\) 是正的实数，当 \(n > m\) 时单调递减并收敛于零，则 \(f(z)\) 的幂级数在单位圆上处处收敛，除了 \(z = 1\) 以外。当 \(z = 1\) 时，不能使用阿贝尔判别法，所以那个点的收敛性必须另外讨论。

无穷限反常积分收敛性的阿贝尔判别法：若 收敛，在 上单调有界，则无穷限反常积分 收敛。

瑕积分收敛性的阿贝尔判别法：,b为其瑕点。若 收敛，在 上单调有界，则瑕积分 收敛。

(1)、在D上一致收敛；

(2)、关于x单调，即对于每一个固定的，是x的单调函数；

(3)、在D上一致有界，即。

则反常含参积分 在D上一致收敛。