质因子

质因子（质因数或素因数），在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因数的正整数称为互质。因为1没有质因数，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串质因数相乘，质因数如重复可用指数表示。根据算数基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因数分解式。只有一个质因数的正整数为质数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。^[1]

质因子（或 质因数）在数论里是指能整除给定正整数的质数。

将一个正整数表示成质因数乘积的过程和得到的表示结果叫做 质因数分解。显示质因数分解结果时，如果其中某个质因数出现了不止一次，可以用幂次的形式表示。例如360的质因数分解是：

其中的质因数2、3、5在360的质因数分解中的幂次分别是3，2，1。

数论中的不少函数与正整数的质因子有关，比如取值为 n的质因数个数的函数和取值为 n的质因数之和的函数。它们都是加性函数，但并非完全加性函数。

• 1没有质因子。

• 5只有1个质因子，5本身。（5是质数。）

• 6的质因子是2和3。

• 2、4、8、16等只有1个质因子：2（2是质数，，如此类推。）

• 10有2个质因子：2和5。

完全平方数 是指等于某个正整数的平方的数。比如 是完全平方数，而226不是。完全平方数的质因数分解中，每个质因数的幂次都是偶数，这是因为假设完全平方数，则它的质因数分解可以从 n的质因数分解推出。假设 n的质因数分解是：

那么 M的质因数分解就是：

所以每个质因子的幂次都是 的形式，是偶数。

举例来说，144是一个完全平方数：，它的质因数分解是：

类似地可以证明，如果某个正整数是完全立方数或某个正整数的幂次： ，那么它的所有质因子的幂次都是 d的倍数。

• 两个没有共同质因子的正整数称为互质。

• 数字1与任何正整数（包括1 本身）都是互质。

• 正整数的因数分解给出一连串的质因子；所有质因子相乘后。质因子如重复会以指数表示。

• 根据Fundamental theorem of arithmetic，任正整数有独一无二的质因子分解式。

• 设任正整数n，其质因子数目及其质因子的和是n的算术函数(arithmetic function)。

• 例子 6的质因子是3和2。

• 5只有1个质因子，5本身。（5是质数。）

• 10有2个质因子：2和5。，只有2和5是质数)

• 2、4、8、16等只有1个质因子：2（2是质数，，如此类推。偶数(6除外)的因子中，只有2是质数。）

• 1没有质因子。（1是empty product）

互质是两个正整数之间的一种关系。如果两个正整数 a和 b没有共同的质因子，就称这两个正整数互质。一般来说两个正整数的最大公约数是指能够同时整除两者的正整数之中最大的一个。如果 a和 b有公共的质因子 p，那么它们的最大公约数gcd( a, b)就是 p的倍数。 a和 b互质则说明最大公约数是1。

数论函数中与质因数有关的函数包括Ω函数和ω函数。ω函数定义为正整数 n的 不同质因子的个数，而Ω函数定义为计算每个质因数的幂次后正整数 n的不同质因子的个数。

例如420的质因数分解是：

所以而因为420的质因数分解中2的幂次是2而其余质因子的幂次是1。