正合函子

在范畴论中，正合函子（或译作恰当函子）是一类特殊的函子，它们能够保持有限极限的结构。在阿贝尔范畴中，正合函子特指那些能够保持正合序列结构的函子。

设 为阿贝尔范畴，为加法函子。若对每个正合序列

取 后得到的序列

仍为正合序列，则称 为 正合函子。

由于正合序列总能拆解为短正合序列，在定义中仅须考虑短正合序列即可。

此外，若对每个短正合序列，其像截去尾端零对象后 为正合序列，则称 左正合函子；类似地，若 为正合序列，则称 是 右正合函子。正合性等价于左正合性+右正合性。

考虑一个函子。

若 里存在任意的有限射影极限，且与有限射影极限交换（即： ），则称 为 左正合。

若 里存在任意的有限归纳极限，且 与有限归纳极限交换（即： ），则称 为 右正合。

若上述条件同时被满足，则称 为 正合。

在阿贝尔范畴中，由于任意有限射影（或归纳）极限可以由核（或上核）与有限积（或上积）生成，此时的定义遂回归到正合序列的定义。

根据极限的泛性质，函子无论对哪个变数都是左正合的，这是左正合函子的基本例子。

设 是一对伴随函子。若 存在任意有限归纳极限，则 右正合；若存在任意有限射影极限，左正合。此法可建立许多函子的正合性。

设 为拓扑空间，阿贝尔群数学范畴上的整体截面函子 是左正合函子。

设 为环，为右 -模，则左 -模范畴上的张量积函子 是右正合函子。

设 为两个阿贝尔范畴，考虑函子范畴，固定一对象，对 的“求值”是正合函子。